Để chuẩn bị cho ngày hội thao, người ta dựng bốn chiếc cột tại bốn góc của một sân bóng hình chữ nhật với kích thước là 15 m x 25 m. Bốn chiếc cột vuông góc với mặt sân và có chiều cao lần lượt là 3 mét, 4 mét, 6 mét và c mét. Một tấm bạt lớn được căng phẳng với bốn góc được cố định vào đầu bốn cột.
Xét hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ trên (đơn vị trên các trục là mét) thì điểm D’ có tọa độ là (a; b; c). Tìm a – 2b + c.
Quan sát hình vẽ, tìm tọa độ ba điểm A’, B’, C’, từ đó lập phương trình mặt phẳng (A’B’C’D’).
Vì D’ thuộc mặt phẳng (A’B’C’D’) nên tìm được c.
Từ hình vẽ, ta có tọa độ các điểm: A’(0; 0; 3), B’(15; 0; 4), C’(15; 25; 6), D(0; 25; c).
Suy ra \(\overrightarrow {A'B'} = (15;0;1)\), \(\overrightarrow {A'C'} = (15;25;3)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\{25}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{15}\\3&{15}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{15}&0\\{15}&{25}\end{array}} \right|} \right)\)
\( = (0.3 - 25.1;1.15 - 3.15;15.25 - 15.0) = ( - 25; - 30;375)\).
Do đó \(\overrightarrow n = \frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = ( - 5; - 6;75)\) là một vecto pháp tuyến của (A’B’C’D’).
Phương trình mặt phẳng (A’B’C’D’) là:
\( - 5(x - 0) - 6(y - 0) + 75(z - 3) = 0\)
\( \Leftrightarrow - 5x - 6y + 75z - 225 = 0\).
Vì D’(0; 25; c) thuộc mặt phẳng (A’B’C’D’) nên:
\( - 5.0 - 6.25 + 75c - 225 = 0 \Leftrightarrow c = 5\).
Suy ra D’(0; 25; 5).
Vậy a – 2b + c = 0 – 2.25 + 5 = -45.
Tích có hướng của hai vecto
Đối với hai vecto $\vec{u}$ và $\vec{v}$ trong không gian, tích có hướng của chúng, ký hiệu là $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right]$, là một vecto mới. Vecto kết quả này có tính chất đặc biệt là nó vuông góc với cả hai vecto ban đầu $\vec{u}$ và $\vec{v}$.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Một mặt phẳng trong không gian 3D có thể được biểu diễn bằng một phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó (A, B, C) là tọa độ của một vecto pháp tuyến của mặt phẳng, và D là một hằng số. Để tìm D, ta cần thay tọa độ của một điểm bất kỳ mà mặt phẳng đi qua vào phương trình.
Điều kiện một điểm thuộc mặt phẳng:
Nếu một điểm có tọa độ $(x_0, y_0, z_0)$ nằm trên một mặt phẳng, thì khi thay tọa độ của điểm đó vào phương trình của mặt phẳng, phương trình phải được thỏa mãn (tức là đẳng thức phải đúng).
Danh sách bình luận