Một ly thuỷ tinh có hình dạng phần chứa nước là một hình parabol tròn xoay. Hình dạng này được tạo ra bằng cách quay một phần của đường parabol quanh trục đối xứng của nó. Biết phần chứa nước của ly có chiều cao tính từ đáy ly lên đến miệng ly là 10 cm, đường kính miệng ly là 8 cm (chỉ tính phần chứa nước, không tính phần thủy tinh).
Ban đầu, người ta đổ vào ly một lượng nước có thể tích bằng \(\frac{1}{5}\) thể tích của ly khi nó chứa đầy nước. Sau đó, người ta đổ thêm vào ly một lượng nước có thể tích bằng với lượng nước đã đổ ban đầu. Hỏi sau khi đổ thêm, chiều cao của mức nước trong ly đã tăng thêm bao nhiêu centimet so với lúc ban đầu (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đặt hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.
Lập phương trình parabol.
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn bằng tích phân.
Đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình.
Giả sử parabol có phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).
Vì parabol có hoành độ đỉnh bằng 0 nên \(\frac{{ - b}}{a} = 0 \Leftrightarrow b = 0\).
Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 0 nên c = 0.
Do đó phương trình parabol có dạng \(y = a{x^2}\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).
Điểm có tọa độ (4;10) thuộc parabol nên ta có \(10 = a{.4^2} \Leftrightarrow a = \frac{5}{8}\).
Vậy phương trình parabol là \(y = \frac{5}{8}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{8y}}{5}\).
Thể tích phần chứa nước của cốc là: \({V_{coc}} = \pi \int\limits_0^{10} {\frac{{8y}}{5}dy} = 80\pi \) \(\left( {c{m^3}} \right)\).
Thể tích nước đổ vào bình ban đầu là: \({V_1} = \frac{1}{5}{V_{coc}} = \frac{1}{5}.80\pi = 16\pi \) \(\left( {c{m^3}} \right)\).
Gọi chiều cao nước ban đầu là m (cm).
Khi đó \({V_1} = \pi \int\limits_0^a {\frac{{8y}}{5}dy} = 16\pi \Leftrightarrow \int\limits_0^m {\frac{{8y}}{5}dy} = 16 \Leftrightarrow \frac{{8{y^2}}}{{10}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^m}\\{_0}\end{array}} \right. = 16 \Leftrightarrow \frac{{8{m^2}}}{{10}} = 16\).
Vì m > 0 nên ta suy ra \(m = 2\sqrt 5 \) (cm).
Gọi chiều cao nước sau khi đổ thêm là n (cm).
Thể tích nước đổ thêm là \({V_2} = \pi \int\limits_{2\sqrt 5 }^n {\frac{{8y}}{5}dy} \) \(\left( {c{m^3}} \right)\).
Vì thể tích nước đổ thêm bằng thể tích nước ban đầu nên ta có:
\({V_2} = {V_1} \Leftrightarrow \pi \int\limits_{2\sqrt 5 }^n {\frac{{8y}}{5}dy} = 16\pi \Leftrightarrow \int\limits_{2\sqrt 5 }^n {\frac{{8y}}{5}dy} = 16 \Leftrightarrow \frac{{8{y^2}}}{{10}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^n}\\{_{2\sqrt 5 }}\end{array}} \right. = 16\)
\( \Leftrightarrow \frac{{8{n^2}}}{{10}} - \frac{{8{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{10}} = 16 \Leftrightarrow {n^2} = 40\).
Vì n > 0 nên \(n = \sqrt {40} \) (cm).
Chiều cao nước dâng thêm là: \(m - n = \sqrt {40} - 2\sqrt 5 \approx 1,85\) (cm).
1. Phương pháp tọa độ hóa:
Việc sử dụng hệ trục tọa độ là một nguyên tắc cơ bản của hình học giải tích để chuyển bài toán hình học sang bài toán đại số. Hệ trục được chọn sao cho phương trình parabol có dạng đơn giản nhất.
2. Xác định phương trình đường parabol:
Phương trình parabol có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).
Từ các điểm mà đồ thị qua, thay tọa độ vào phương trình trên để tìm được hệ số a, b, c.
3. Công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân:
Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi việc quay đường cong x = f(y) quanh trục Oy, giới hạn bởi các đường thẳng y = a, y = b được tính bằng công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)dy} \). Công thức này dựa trên ý tưởng chia khối tròn xoay thành các "lát" hình đĩa mỏng vuông góc với trục quay.
Danh sách bình luận