Đề bài

Một hồi cứu về một bệnh nhân ung thư vú đã phẫu thuật cho kết quả với tỉ lệ sống trên 5 năm là 60% và tỉ lệ di căn là 30%. Biết rằng số bệnh nhân vừa sống trên 5 năm vừa di căn chỉ bằng một nửa số bệnh nhân vừa không di căn vừa sống không quá 5 năm. Một bệnh nhân bị ung thư vú và không di căn, tính xác suất để người này sống trên 5 năm. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai.

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức xác suất toàn phần.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi các biến cố:

A: “Bệnh nhân sống trên 5 năm”;

B: “Bệnh nhân di căn”.

Suy ra \(\overline A \): “Bệnh nhân không sống trên 5 năm”;

\(\overline B \): “Bệnh nhân không di căn”.

Cần tính \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}}\).

Theo giả thiết, ta có: P(A) = 0,6; P(B) = 0,3; \(P\left( {AB} \right) = \frac{1}{2}P\left( {\overline A \overline B } \right)\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( {AB} \right) + P\left( {A\overline B } \right)\); \(P\left( B \right) = P\left( {AB} \right) + P\left( {\overline A B} \right)\).

Ta có \(P\left( {AB} \right) + P\left( {\overline A \overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {A\overline B } \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow P\left( {AB} \right) + 2P\left( {AB} \right) + \left[ {P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)} \right] + \left[ {P\left( A \right) - P\left( {AB} \right)} \right] = 1\)

\( \Leftrightarrow P\left( {AB} \right) + P\left( B \right) + P\left( A \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow P\left( {AB} \right) + 0,6 + 0,3 = 1\)

\( \Leftrightarrow P\left( {AB} \right) = 0,1\).

Ta có \(P\left( A \right) = P\left( {AB} \right) + P\left( {A\overline B } \right)\)

\(\Leftrightarrow P\left( {A\overline B } \right) = 0,6 - 0,1 = 0,5\).

\(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,3 = 0,7\).

Vậy \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,5}}{{0,7}} \approx 0,71\).

Mở rộng

1. Xác suất có điều kiện

Đây là xác suất xảy ra của một sự kiện B, khi biết rằng một sự kiện A đã xảy ra. Ký hiệu là P(B|A). Nó đo lường khả năng xảy ra của B dưới điều kiện của A. Ngược lại, P(A|B) là xác suất xảy ra của A khi biết B đã xảy ra.

Công thức: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ (với điều kiện P(B) > 0) và $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ (với điều kiện P(A) > 0).

2. Công thức xác suất toàn phần

Công thức này được sử dụng để tính xác suất của một biến cố B khi không biết trực tiếp, nhưng biết xác suất của B xảy ra dưới các điều kiện của một hệ đầy đủ các biến cố xung khắc $(A_1, A_2, ..., A_n)$. Hệ biến cố $A_1, A_2, ..., A_n$ được gọi là đầy đủ nếu hợp của chúng là không gian mẫu và chúng đôi một xung khắc. Công thức có dạng:

$P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + ... + P(B|A_n)P(A_n)$

\( = P(B{A_1}) + P(B{A_2}) + ... + P(B{A_n})\).