Đề bài

Để treo một chậu cây người ta cần lấy trên miệng của chậu cây đó 3 điểm và sử dụng 3 đoạn dây có độ dài bằng nhau để nối 3 điểm đó với một điểm treo (xem hình minh họạ). Giả sử trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, ba điểm trên miệng của chậu cây là A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1); điểm treo M(a;b;c) nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): x + 2y + z – 2 = 0. Bình phương khoảng cách từ điểm M đến gốc tọa độ O bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải

Vì M là điểm treo nối bởi 3 sợi dây tới 3 điểm A, B, C nên MA = MB = MC.

Mặt khác, M thuộc \(\left( \alpha  \right)\) nên ta có a + 2b + c – 2 = 0.

Áp dụng công thức tính khoảng cách trong không gian, giải hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\MB = MC\\a + 2b + c - 2 = 0\end{array} \right.\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Giả sử M(a;b;c).

Vì M là điểm treo nối bởi 3 sợi dây tới 3 điểm A, B, C nên MA = MB = MC.

Mặt khác, M thuộc \(\left( \alpha  \right)\) nên ta có a + 2b + c – 2 = 0.

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}M{A^2} = M{B^2}\\M{B^2} = M{C^2}\\a + 2b + c - 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(a - 0)^2} + {(b - 1)^2} + {(c - 2)^2} = {(a - 2)^2} + {(b + 2)^2} + {(c - 1)^2}\\{(a - 2)^2} + {(b + 2)^2} + {(c - 1)^2} = {(a + 2)^2} + {(b - 0)^2} + {(c - 1)^2}\\a + 2b + c - 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a - 6b - 2c = 4\\ - 8a + 4b =  - 4\\a + 2b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 5\\c =  - 11\end{array} \right. \Rightarrow M(3;5; - 11)\).

Vậy \(O{M^2} = {3^2} + {5^2} + {( - 11)^2} = 155\).

Mở rộng

Công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian Oxyz:

Trong không gian Oxyz, nếu ta có hai điểm $P_1(x_1, y_1, z_1)$ và $P_2(x_2, y_2, z_2)$, thì khoảng cách giữa chúng $d(P_1, P_2)$ được tính bằng công thức: $d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$