Đề bài

Để điều khiển được 1 tàu thủy, thuyền trường A cần đảm bảo rằng hệ thống điều khiển bánh lái và bánh lái không bị hỏng. Biết rằng xác suất để hệ thống điều khiến bánh lái hoạt động bình thường là 0,8 và bánh lái không bị hỏng là 0,75. Thông qua thực tế thì người ta nhận thấy xác suất ca hai bộ phận này cũng hỏng là 0,03. Hỏi xác suất để chỉ có một bộ phận hỏng trong hai bộ phận kiểm tra là bao nhiêu?

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi các biến cố:

A: “Hệ thống điều khiển bánh lái hoạt động bình thường”;

B: “Bánh lái không bị hỏng (hoạt động bình thường”;

Suy ra \(\overline A \): “Hệ thống điều khiển bánh lái hỏng”;

\(\overline B \): “Bánh lái hỏng”.

Theo giả thiết, ta có P(A) = 0,8; P(B) = 0,75; \(P\left( {\overline A \overline B } \right) = 0,03\).

Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,8 = 0,2\);

\(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,75 = 0,25\).

Ta có \(P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {\overline A \overline B } \right)\)

\(\Leftrightarrow 0,2 = P\left( {\overline A B} \right) + 0,03 \Leftrightarrow P\left( {\overline A B} \right) = 0,17\).

Mặt khác \(P\left( {\overline B } \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A \overline B } \right) \)

\(\Leftrightarrow 0,25 = P\left( {A\overline B } \right) + 0,03 \Leftrightarrow P\left( {\overline A B} \right) = 0,22\).

Xác suất để chỉ có một bộ phận hỏng là:

\(P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {\overline A B} \right) = 0,17 + 0,22 = 0,39\).

Mở rộng

1. Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện là xác suất của một sự kiện xảy ra khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Xác suất có điều kiện được biểu thị dưới dạng P(X|Y), có nghĩa là xác suất của sự kiện X xảy ra, biết rằng sự kiện Y đã xảy ra.

2. Công thức xác suất toàn phần

Công thức này được sử dụng để tính xác suất của một biến cố B khi không biết trực tiếp, nhưng biết xác suất của B xảy ra dưới các điều kiện của một hệ đầy đủ các biến cố xung khắc $(A_1, A_2, ..., A_n)$. Hệ biến cố $A_1, A_2, ..., A_n$ được gọi là đầy đủ nếu hợp của chúng là không gian mẫu và chúng đôi một xung khắc. Công thức có dạng:

$P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + ... + P(B|A_n)P(A_n)$

\( = P(B{A_1}) + P(B{A_2}) + ... + P(B{A_n})\).