Một con sư tử đang đuổi theo một con ngựa vằn. Con ngựa vằn nhận ra con sư tử khi con sư tử cách xa nó 40 m. Từ thời điểm này, con sư tử đuổi con ngựa vằn với tốc độ \({v_1}(t) = 15{e^{ - 0,1t}}\) m/s và con ngựa vằn chạy trốn với tốc độ \({v_2}(t) = 20 - 20{e^{ - 0,1t}}\) trên cùng một đường thẳng (với t tính theo giây và \(0 \le t \le 60\)).
a) Tại thời điểm ban đầu t = 0, vận tốc của con ngựa vằn là 20 m/s.
b) Tốc độ của sư tử giảm dần theo thời gian, trong khi tốc độ của ngựa vằn tăng dần theo thời gian.
c) Sư tử sẽ ở gần ngựa vằn nhất khi \({v_1}'(t) = {v_2}'(t)\).
d) Sư tử sẽ không bắt được con ngựa vằn và khoảng cách ngắn nhất giữa chúng là 1,42 mét (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
a) Tại thời điểm ban đầu t = 0, vận tốc của con ngựa vằn là 20 m/s.
b) Tốc độ của sư tử giảm dần theo thời gian, trong khi tốc độ của ngựa vằn tăng dần theo thời gian.
c) Sư tử sẽ ở gần ngựa vằn nhất khi \({v_1}'(t) = {v_2}'(t)\).
d) Sư tử sẽ không bắt được con ngựa vằn và khoảng cách ngắn nhất giữa chúng là 1,42 mét (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
a) Tính \({v_2}(0)\).
b) Xét dấu của \({v_1}'(t)\) và \({v_2}'(t)\).
c, d) Ứng dụng nguyên hàm \(v(t) = \int {s(t)dt} \).
a) Sai. Taị thời điểm ban đầu t = 0, ta có \({v_2}(0) = 20 - 20{e^{ - 0,1.0}} = 20 - 20.1 = 0\) (m/s).
Do đó vận tốc ban đầu của ngựa vằn là 0 m/s.
b) Đúng. Ta có:
\({v_1}'(t) = 15{e^{ - 0,1t}} = 15.( - 0,1t)'.{e^{ - 0,1t}} = - 1,5{e^{ - 0,1t}} < 0\) với \(0 \le t \le 60\).
Do đó tốc độ của sư tử giảm dần theo thời gian.
\({v_2}'(t) = 20 - 20{e^{ - 0,1t}} = - 20.( - 0,1t)'.{e^{ - 0,1t}} = 2{e^{ - 0,1t}} > 0\) với \(0 \le t \le 60\).
Do đó tốc độ của ngựa vằn tăng dần theo thời gian.
c) Sai. Khoảng cách giữa sư tử và ngựa vằn là \(s(t) = {s_2}(t) - {s_1}(t)\).
Ta có:
\({s_1}(t) = \int {{v_1}(t)dt} = \int {15{e^{ - 0,1t}}dt} = - 150{e^{ - 0,1t}} + {C_1}\).
Mà \({s_1}(0) = - 150{e^{ - 0,1.0}} + {C_1} = 0 \Leftrightarrow {C_1} = 150\).
Vậy \({s_1}(t) = - 150{e^{ - 0,1t}} + 150\).
Ta có:
\({s_2}(t) = \int {{v_2}(t)dt} = \int {\left( {20 - 20{e^{ - 0,1t}}} \right)dt} = 20t + 200{e^{ - 0,1t}} + {C_2}\).
Mà \({s_2}(0) = 20.0 + 200{e^{ - 0,1.0}} + {C_2} = 40 \Leftrightarrow {C_2} = - 160\).
Vậy \({s_2}(t) = 20t + 200{e^{ - 0,1t}} - 160\).
Do đó \(s(t) = 20t + 200{e^{ - 0,1t}} - 160 - ( - 150{e^{ - 0,1t}} + 150) = 20t + 350{e^{ - 0,1t}} - 310\).
Có \(s'(t) = {s_2}'(t) - {s_1}'(t) = {v_2}(t) - {v_1}(t)\).
\(s'(t) = 0 \Leftrightarrow {v_2}(t) - {v_1}(t) = 0 \Leftrightarrow {v_1}(t) = {v_2}(t) \Leftrightarrow 15{e^{ - 0,1t}} = 20 - 20{e^{ - 0,1t}}\)
\( \Leftrightarrow 35{e^{ - 0,1t}} = 20 \Leftrightarrow {e^{ - 0,1t}} = \frac{4}{7} \Leftrightarrow t = - 10\ln \left( {\frac{4}{7}} \right)\).
Ta có \(s(0) = 40\), \(s\left( { - 10\ln \frac{4}{7}} \right) \approx 1,92\), \(s(60) \approx 890,87\).
Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa sư tử và ngựa vằn là khoảng 1,92 (m) khi \({v_1}(t) = {v_2}(t)\).
d) Sai. Khoảng cách ngắn nhất giữa sư tử và ngựa vằn là khoảng 1,92 (m).
Ứng dụng của đạo hàm
Đạo hàm của một hàm số tại một điểm cho biết tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó. Nếu đạo hàm của một hàm số là dương, hàm số đang tăng; nếu âm, hàm số đang giảm.
Ứng dụng của nguyên hàm
Nếu biết tốc độ thay đổi của một đại lượng (ví dụ: vận tốc), việc tìm nguyên hàm cho phép bạn xác định tổng lượng thay đổi hoặc tổng giá trị của đại lượng đó (ví dụ: vị trí hoặc quãng đường đi được).
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).
Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.
Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].
Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].
Danh sách bình luận