Đề bài

Cho \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) và \(\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0\). Chứng minh rằng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\).

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của ba số để tính \({\left( {\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c}} \right)^2} = 1\)

Cho ba số a, b, c, ta có: \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\).

Từ \(\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0\) chứng minh \(ayz + bxz + cxy = 0\).

Thay vào \({\left( {\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c}} \right)^2} = 1\) để chứng minh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c}} \right)^2} = 1\\\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} + 2\left( {\frac{{xy}}{{ab}} + \frac{{yz}}{{bc}} + \frac{{xz}}{{ac}}} \right) = 1\\\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} + 2\left( {\frac{{cxy + ayz + bxz}}{{abc}}} \right) = 1\end{array}\)

Mà \(\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0\) nên ta có: \(\frac{{ayz + bxz + cxy}}{{xyz}} = 0\), suy ra \(ayz + bxz + cxy = 0\)

Do đó \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} + 2.0 = 1\)

Suy ra \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\).

Mở rộng

• Bài toán này sử dụng một hằng đẳng thức đại số cơ bản: bình phương của một tổng ba số.

Cụ thể, với ba số $a, b, c$ bất kỳ, ta có công thức: $ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) $1. Hằng đẳng thức này là chìa khóa để khai triển biểu thức ban đầu và dẫn đến kết quả cần chứng minh.

• Trong bài toán này, hằng đẳng thức trên được áp dụng trực tiếp cho biểu thức $ \left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right)^2 $.

+ Sử dụng điều kiện ban đầu: Đề bài cho $ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 $. Ta bình phương cả hai vế của đẳng thức này: $ \left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right)^2 = 1^2 = 1 $.

+ Khai triển theo hằng đẳng thức: Áp dụng công thức bình phương của tổng ba số, ta khai triển vế trái của phương trình: $ \left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right)^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} + 2\left( \frac{xy}{ab} + \frac{yz}{bc} + \frac{xz}{ac} \right) $.

+ Quy đồng mẫu số: Phần $ 2\left( \frac{xy}{ab} + \frac{yz}{bc} + \frac{xz}{ac} \right) $ được quy đồng mẫu số chung là $abc$: $ 2\left( \frac{xy}{ab} + \frac{yz}{bc} + \frac{xz}{ac} \right) = 2\left( \frac{cxy + ayz + bxz}{abc} \right) $.

+ Sử dụng điều kiện thứ hai: Đề bài cho điều kiện thứ hai là $ \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0 $. Từ điều kiện này, bằng cách quy đồng mẫu số chung là $xyz$, ta có $ \frac{ayz + bxz + cxy}{xyz} = 0 $. Điều này suy ra tử số phải bằng 0, tức là $ ayz + bxz + cxy = 0 $ (với giả định $x, y, z \neq 0$ để các mẫu số xác định).

+ Thay thế và kết luận: Thay $ ayz + bxz + cxy = 0 $ vào biểu thức đã khai triển, ta được: $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} + 2 \cdot \frac{0}{abc} = 1 $. Điều này đơn giản thành $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} + 0 = 1 $, và cuối cùng là $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 $