Bạn An xác định được phần thân của ấm đun nước siêu tốc được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi một parabol quay quanh trục của nó. Các kích thước của ấm bạn đo được như sau: đường kính đáy ấm bằng 14 cm, đường kính miệng ấm bằng 8 cm, chiều cao thân ấm (phần đựng nước không kể nắp) bằng 20 cm. Hỏi thể tích phần thân ấm là bao nhiêu lít (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Gắn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.
Tìm phương trình parabol giới hạn thân ấm.
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.
Gắn hệ trục tọa độ như hình.
Giả sử parabol giới hạn thân ấm có phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\).
Parabol đi qua các điểm có tọa độ (7;0), (4;20), (-4;20) nên ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.7^2} + b.7 + c\\20 = a{.4^2} + b.4 + c\\20 = a{( - 4)^2} + b( - 4) + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{20}}{{30}}\\b = 0\\c = \frac{{980}}{{33}}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow (P):y = - \frac{{20}}{{30}}{x^2} + \frac{{980}}{{33}} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{980 - 33y}}{{20}}\).
Ta có \(V = \pi \int\limits_0^{20} {\frac{{980 - 33y}}{{20}}dy} = 650\pi \) \(\left( {c{m^3}} \right)\).
Vậy thể tích thân ấm là \(\frac{{650\pi }}{{1000}} \approx 2,04\) (lít).
1. Phương pháp tọa độ:
Việc sử dụng hệ trục tọa độ là một nguyên tắc cơ bản của hình học giải tích để chuyển bài toán hình học sang bài toán đại số. Hệ trục được chọn sao cho phương trình parabol có dạng đơn giản nhất.
2. Xác định phương trình đường parabol:
Phương trình parabol có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).
Từ các điểm mà đồ thị qua, thay tọa độ vào phương trình trên để tìm được hệ số a, b, c.
3. Công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân:
Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi việc quay đường cong x = f(y) quanh trục Oy, giới hạn bởi các đường thẳng y = a, y = b được tính bằng công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)dy} \). Công thức này dựa trên ý tưởng chia khối tròn xoay thành các "lát" hình đĩa mỏng vuông góc với trục quay.
Danh sách bình luận