Một công ty dược phẩm giới thiệu một dụng cụ để kiểm tra sớm bệnh sốt xuất huyết. Về báo cáo kiểm định chất lượng của sản phẩm, họ cho biết như sau: Số người được thử là 8000, trong số đó có 1200 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và có 6800 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết. Khi thử bằng dụng cụ của công ty, trong 1200 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 70% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính. Trong 6800 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 5% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính. Chọn ngẫu nhiên một người trong số 8000 nghìn người trên. Tính xác suất để người được chọn bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết người đó có kết quả thử nghiệm dương tính (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần và công thức Bayes.
Gọi các biến cố:
A: “Người được chọn nhiễm bệnh sốt xuất huyết”.
Suy ra \(\overline A \): “Người được chọn không nhiễm bệnh sốt xuất huyết”.
B: “Dụng cụ cho kết quả dương tính”.
Suy ra \(\overline B \): “Dụng cụ cho kết quả âm tính”.
Cần tính \(P(A|B) = \frac{{P(B|A).P(A)}}{{P(B)}}\).
Theo giả thiết:
Có 1200 người trong 8000 người nhiễm bệnh nên \(P(A) = \frac{{1200}}{{8000}} = 0,15\).
Có 6800 người trong 8000 người không nhiễm bệnh nên \(P(\overline A ) = \frac{{6800}}{{8000}} = 0,85\).
Xác suất dụng cụ cho kết quả dương tính đối với người thực sự nhiễm bệnh là 70% nên \(P(B|A) = 70\% = 0,7\).
Xác suất dụng cụ cho kết quả dương tính đối với người không nhiễm bệnh là 5% nên \(P(B|\overline A ) = 5\% = 0,05\).
Chọn ngẫu nhiên một người trong 8000 người, xác suất dụng cụ cho kết quả dương tính là:
\(P(B) = P(B|A).P(A) + P(B|\overline A ).P(\overline A )\)
\( = 0,7.0,15 + 0,05.0,85 = 0,1475\).
Chọn ngẫu nhiên một người trong 8000 người, xác suất để người đó bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết người đó có kết quả thử nghiệm dương tính là:
\(P(A|B) = \frac{{P(B|A).P(A)}}{{P(B)}} = \frac{{0,7.0,15}}{{0,1475}} \approx 0,71\).
1. Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện là xác suất của một sự kiện xảy ra khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Xác suất có điều kiện được biểu thị dưới dạng P(X|Y), có nghĩa là xác suất của sự kiện X xảy ra, biết rằng sự kiện Y đã xảy ra.
2. Công thức xác suất toàn phần
Công thức này được sử dụng để tính xác suất của một biến cố B khi không biết trực tiếp, nhưng biết xác suất của B xảy ra dưới các điều kiện của một hệ đầy đủ các biến cố xung khắc $(A_1, A_2, ..., A_n)$. Hệ biến cố $A_1, A_2, ..., A_n$ được gọi là đầy đủ nếu hợp của chúng là không gian mẫu và chúng đôi một xung khắc. Công thức có dạng:
$P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + ... + P(B|A_n)P(A_n)$.
3. Công thức Bayes
Công thức Bayes cho phép tính xác suất có điều kiện của một biến cố (A) khi biết một biến cố khác (B) đã xảy ra. Nó liên hệ xác suất có điều kiện P(A|B) với xác suất có điều kiện ngược lại P(B|A) và xác suất riêng của các biến cố P(A) và P(B). Công thức có dạng:
$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$.
Danh sách bình luận