Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm M trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài của tam giác ABM tam giác AMN vuông cân tại M. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên nửa đường tròn thì điểm N luôn thuộc một nửa đường tròn cố định.
Dựa vào kiến thức đã học về phép biến hình để làm.
Trên cạnh AN, lấy điểm C sao cho AC = AM.
Tam giác AMN vuông cân tại M nên \(\widehat {CAM} = \widehat {NAM} = 45^\circ \) và \(AN = \sqrt 2 ,\,AM = \sqrt 2 AC\).
Vì AM = AC và \(\widehat {CAM} = 45^\circ \) nên ta có phép quay tâm A, góc quay 45° biến điểm M thành điểm C.
Vì \(AN = \sqrt 2 AC\) và C thuộc AN nên \(\sqrt 2 \), do đó ta có phép vị tự tâm A, tỉ số \(\sqrt 2 \) biến điểm C thành điểm N.
Như vậy, phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm A, góc quay 45° và phép vị tự tâm A, tỉ số \(\sqrt 2 \) biến điểm M thành điểm N. Mặt khác, M thuộc nửa đường tròn đường kính AB nên N thuộc nửa đường tròn đường kính AK cố định là ảnh của nửa đường tròn đường kính AB qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm A, góc quay 45° và phép vị tự tâm A, tỉ số \(\sqrt 2 \). Ở đó K là ảnh của B qua phép đồng dạng trên, K thỏa mãn \(\widehat {BAK} = 45^\circ \) (theo chiều dương) và \(AK = \sqrt 2 AB\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ d. Hai điểm E, F thay đổi trên d sao cho \(\overrightarrow {EF} \) không đổi. Xác định vị trí của hai điểm E, F để AE + BF nhỏ nhất.
Bài 2 :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các phép biến hình sau đây:
– Phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(–x; –y);
– Phép biến hình g biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(2x; 2y).
Trong hai phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình? Giải thích.
Bài 3 :
Nghệ thuật cắt giấy Kirigami của Nhật Bản đã sử dụng rất nhiều phép đối xứng khi cắt để tạo ra các hình đẹp. Hãy tìm trục đối xứng và tâm đối xứng của các hình trong Hình 13.
Bài 4 :
Vận dụng phép đối xứng tâm và đối xứng trục để cắt hoa văn trang trí theo hướng dẫn sau:
– Lấy một tờ giấy hình vuông, gấp đôi, gấp tư rồi gấp làm tám (Hình 14a).
– Vẽ hoa và lá trên bề mặt tam giác (Hình 14b).
– Dùng kéo cắt theo đường đã vẽ (Hình 14c).
– Trải phẳng tờ giấy ra để thấy hoa văn trang trí gồm hoa và lá (Hình 14d).
Tìm tâm đối xứng và trục đối xứng của hoa văn vừa làm.
Bài 5 :
Trong hình bên dưới, tìm các cặp hình có hình dạng giống nhau. Loại phép biến hình nào có thể biến hình này thành hình kia trong mỗi cặp?
Bài 6 :
Cho Hình 1.
a) Tìm phép biến hình f biến hình (A) thành hình (B).
b) Tìm phép biến hình g biến hình (A) thành hình (C).
c) Tìm các phép biến hình biến hình (D) thành lần lượt các hình (E), (F), (G).
Danh sách bình luận