Một bình hoa có dạng khối tròn xoay với chiều cao là 25 cm (tham khảo hình vẽ). Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc với trục của nó thì ta luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính \(R = \frac{4}{9}{x^3} - \frac{5}{3}{x^2} + \frac{4}{3}x + \frac{{25}}{{36}}\) với \(x \in \left[ {0;\frac{5}{2}} \right]\) là khoảng cách từ mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa (tính theo đơn vị dm). Lượng nước cần đổ vào bình để mức nước trong bình cao bằng \(\frac{2}{3}\) chiều cao của bình chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích của bình hoa (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Gắn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.
Áp dụng công thức tính thể tích \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \).
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O trùng với tâm của đáy bình, trục Ox trùng với trục dọc của bình.
Thể tích bình là: \({V_b} = \pi \int\limits_0^{\frac{5}{2}} {{{\left( {\frac{4}{9}{x^3} - \frac{5}{3}{x^2} + \frac{4}{3}x + \frac{{25}}{{36}}} \right)}^2}dx} \).
Độ cao mực nước trong bình là \(\frac{2}{3}.\frac{5}{2} = \frac{5}{3}\) (dm).
Thể tích nước là: \({V_n} = \pi \int\limits_0^{\frac{5}{3}} {\left( {\frac{4}{9}{x^3} - \frac{5}{3}{x^2} + \frac{4}{3}x + \frac{{25}}{{36}}} \right)^2dx} \).
Vậy thể tích nước so với thể tích bình là \(T = \frac{{{V_n}}}{{{V_b}}}.100\% \approx 92\% \).
Ứng dụng tích phân tính thể tích
Công thức chung để tính thể tích của vật thể thu được khi quay một miền phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, đường thẳng x = a và x = b quanh trục Ox là: $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx}$.
Danh sách bình luận