Công ty X giao cho hai xí nghiệp I và II sản xuất 10000 sản phẩm. Xí nghiệp I sản xuất 4000 sản phẩm và có tỷ lệ phế phẩm là 6%, xí nghiệp II có tỉ lệ phế phẩm là 4%. Công ty có một hệ thống dùng để phát hiện phế phẩm cho các sản phẩm của hai xí nghiệp trên. Biết rằng nếu một phế phẩm đi qua hệ thống thì nó chỉ phát hiện được 95% và hệ thống dự đoán đúng được 92%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm rồi cho đi qua hệ thống. Tính xác suất để sản phẩm được chọn của xí nghiệp I biết rằng sản phẩm đó bị hệ thống báo là phế phẩm (làm tròn kết quả đến hàng phầm trăm).
Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần và công thức Bayes.
Gọi các biến cố:
A: “Sản phẩm do xí nghiệp I sản xuất”.
Suy ra \(\overline A \): “Sản phẩm do xí nghiệp II sản xuất.
B: “Hệ thống thông bảo sản phẩm là phế phẩm”.
Cần tính \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Xí nghiệp II sản xuất 10000 – 4000 = 6000 sản phẩm.
Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{4000}}{{10000}} = 0,4\), \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{6000}}{{10000}} = 0,6\).
Xác suất hệ thống dự đoán đúng là 0,92; do đó xác suất hệ thống dự đoán sai là 1 – 0,92 = 0,08.
Với sản phẩm của xí nghiệp I, để hệ thống thông báo phế phẩm thì:
+ Phát hiện đúng từ 6% phế phẩm: 0,95.0,06.
+ Phát hiện sai từ 94% sản phẩm tốt: 0,08.0,94.
Do đó xác suất hệ thống thông báo phế phẩm từ xí nghiệp I là:
\(P\left( {B|A} \right) = 0,95.0,06 + 0,08.0,94 = 0,1322\).
Với sản phẩm của xí nghiệp II, để hệ thống thông báo phế phẩm thì:
+ Phát hiện đúng từ 4% phế phẩm: 0,95.0,04.
+ Phát hiện sai từ 96% sản phẩm tốt: 0,08.0,96.
Do đó xác suất hệ thống thông báo phế phẩm từ xí nghiệp II là:
\(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,95.0,04 + 0,08.0,96 = 0,1148\).
Xác suất hệ thống thông báo phế phẩm từ cả hai xí nghiệp là:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)
\( = 0,4.0,1322 + 0,6.0,1148 = 0,12176\).
Vậy xác suất để sản phẩm được chọn của xí nghiệp I biết rằng sản phẩm đó bị hệ thống báo là phế phẩm là:
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,1322.0,4}}{{0,12176}} \approx 0,43\).
1. Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện là xác suất của một sự kiện xảy ra khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Xác suất có điều kiện được biểu thị dưới dạng P(X|Y), có nghĩa là xác suất của sự kiện X xảy ra, biết rằng sự kiện Y đã xảy ra.
2. Công thức xác suất toàn phần
Công thức này được sử dụng để tính xác suất của một biến cố B khi không biết trực tiếp, nhưng biết xác suất của B xảy ra dưới các điều kiện của một hệ đầy đủ các biến cố xung khắc $(A_1, A_2, ..., A_n)$. Hệ biến cố $A_1, A_2, ..., A_n$ được gọi là đầy đủ nếu hợp của chúng là không gian mẫu và chúng đôi một xung khắc. Công thức có dạng:
$P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + ... + P(B|A_n)P(A_n)$.
3. Công thức Bayes
Công thức Bayes cho phép tính xác suất có điều kiện của một biến cố (A) khi biết một biến cố khác (B) đã xảy ra. Nó liên hệ xác suất có điều kiện P(A|B) với xác suất có điều kiện ngược lại P(B|A) và xác suất riêng của các biến cố P(A) và P(B). Công thức có dạng:
$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$.
Danh sách bình luận