Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH (H \( \in \) BC). Tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = BA.

a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta MBD\) và \(DM \bot BC\).

b) Chứng minh \(\Delta DAM\) cân và AM là tia phân giác của góc HAC.

c) Chứng minh MC > MH.

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta MBD\) (c.g.c)

* Suy ra hai góc tương ứng bằng nhau, suy ra \(DM \bot BC\).

b) * Chứng minh \(\Delta DAM\) có DA = DM nên cân tại D.

* Chứng minh AH // DM suy ra \(\widehat {HAM} = \widehat {AMD}\) (hai góc so le trong)

Vì \(\Delta DAM\) cân nên \(\widehat {MAD} = \widehat {AMD}\)

Do đó \(\widehat {HAM} = \widehat {MAD}\) hay \(\widehat {HAM} = \widehat {MAC}\) nên AM là tia phân giác của góc HAC.

c) Kẻ MK \( \bot \) AC tại K.

Chứng minh \(\Delta AHM = \Delta AKM\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó \(MH = MK\) (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh MC > MK

Suy ra MC > MH.

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) * Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta MBD\) có:

\(BA = BM\) (gt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {MBD}\) (BD là tia phân giác của \(\widehat {ABM}\))

BD chung

Suy ra \(\Delta ABD = \Delta MBD\) (c.g.c)

* Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {BMD} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng), do đó \(DM \bot BM\) hay \(DM \bot BC\).

b) * Vì \(\Delta ABD = \Delta MBD\) (cmt) nên AD = DM, suy ra \(\Delta DAM\) cân tại D.

* Vì \(AH \bot BC,DM \bot BC\) nên AH // DM.

Suy ra \(\widehat {HAM} = \widehat {AMD}\) (hai góc so le trong)

Vì \(\Delta DAM\) cân tại D nên \(\widehat {MAD} = \widehat {AMD}\)

Do đó \(\widehat {HAM} = \widehat {MAD}\) hay \(\widehat {HAM} = \widehat {MAC}\) nên AM là tia phân giác của góc HAC.

c) Kẻ MK \( \bot \) AC tại K.

Xét \(\Delta AHM\) và \(\Delta AKM\) có:

\(\widehat {AHM} = \widehat {AKM}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AM chung

\(\widehat {HAM} = \widehat {MAK}\) (AM là tia phân giác của \(\widehat {HAC}\))

Suy ra \(\Delta AHM = \Delta AKM\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó \(MH = MK\) (hai cạnh tương ứng).

Xét tam giác MKC vuông tại K nên MC > MK (cạnh huyền là cạnh lớn nhất trong tam giác)

Suy ra MC > MH.