Đề bài

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ các đỉnh là $A\left( {1,1,1} \right),{\rm{ }}B\left( {1,2,1} \right),{\rm{ }}C\left( {1,1,2} \right)$ và $D\left( {2,2,1} \right)$. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ có phương trình là

• A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x - 3y - 3z - 6 = 0.\)         
• B. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x - 3y - 3z + 6 = 0.\)
• C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x + 3y - 3z + 6 = 0.\)       
• D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x - 3y - 3z + 12 = 0.\)

Phương pháp giải

- Xét từng đáp án:

+ Thay các tọa độ các điểm vào lần lượt từng phương trình, phương trình nào mà tọa độ 4 điểm đều thỏa mãn là phương trình cần tìm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

- Thử từng tọa độ các điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D$ vào các phương trình cho trong các đáp án A,B,C,D

+ Thay $A\left( {1,1,1} \right)$ vào phương trình cho ở đáp án A có

\({1^2} + {1^2} + {1^2} - 3 - 3 - 3 - 6 \ne 0\)

Loại A

Thay $A\left( {1,1,1} \right)$ vào phương trình cho ở đáp án B có

\({1^2} + {1^2} + {1^2} - 3 - 3 - 3 + 6 = 0\)

Thay $B\left( {1,2,1} \right)$   vào phương trình cho ở đáp án B có

\({1^2} + {2^2} + {1^2} - 3 - 6 - 3 + 6 = 0\)

Thay $C\left( {1,1,2} \right)$  vào phương trình cho ở đáp án B có

\({1^2} + {1^2} + {2^2} - 3 - 3 - 6 + 6 = 0\)

Thay $D\left( {2,2,1} \right)$ vào phương trình cho ở đáp án B có

\({2^2} + {2^2} + {1^2} - 6 - 6 - 3 + 6 = 0\)

Vậy A,B,C,D thỏa mãn phương trình cho ở đáp án B.

Đáp án : B

Chú ý

Có thể giải trực tiếp bài toán theo hướng dẫn sau:

- Gọi phương trình mặt cầu dạng khai triển \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\)

- Thay lần lượt tọa độ các điểm \(A,B,C,D\) vào phương trình trên ta được hệ phương trình.

- Giải hệ phương trình trên ta được \(a,b,c,d\).