Đề bài

Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng là hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy dài 262 mét, cạnh bên dài 230 mét. Biết kho báu được đặt ở tâm của đáy kim tự tháp. Người ta xác định vị trí để đào con đường đến kho báu sao cho đoạn đường ngắn nhất. Tính độ dài đoạn đường ngắn nhất đó (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Phương pháp giải

Đoạn đường đào ngắn nhất là khoảng cách từ kho báu đến mặt bên của kim tự tháp.

Ta cần tính khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt bên của kim tự tháp.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Mô hình hóa kim tự tháp thành hình chóp tứ giác đều S.ACBD.

Gọi O là vị trí của kho báu (tâm của đáy), E là trung điểm của CD, H là hình chiếu của O trên SE.

Đoạn đường đào ngắn nhất là khoảng cách từ kho báu đến mặt bên của kim tự tháp, hay chính là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).

Tam giác OCD cân tại O nên OE vừa là trung truyến, vừa là đường cao tam giác OCD.

Do đó \(OE \bot CD\).

Mặt khác, S.ABCD là chóp tứ giác đều nên \(SO \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot CD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OE\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SOE) \Rightarrow CD \bot OH\).

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SE\\OH \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot (SCD) \Rightarrow d\left( {O,(SCD)} \right) = OH\).

Ta có \(OE = \frac{{BC}}{2} = \frac{{262}}{2} = 131\) (m);

\(OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{AB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{262\sqrt 2 }}{2} = 131\sqrt 2 \) (m);

\(SO = \sqrt {S{D^2} - O{D^2}}  = \sqrt {{{230}^2} - {{(131\sqrt 2 )}^2}}  = \sqrt {18578} \) (m).

Xét tam giác SOE vuông tại O, đường cao OH:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{18578}} + \frac{1}{{{{131}^2}}} \Rightarrow OH \approx 94,4\) (m).

Mở rộng

Tính chất của hình chóp tứ giác đều:

- Đáy là hình vuông.

- Đỉnh hình chóp nằm trên đường thẳng vuông góc với tâm đáy.

- Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau.

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là độ dài của đoạn thẳng vuông góc hạ từ điểm đó xuống mặt phẳng.

Các định lý và hệ thức trong tam giác:

- Định lý Pythagore: Áp dụng cho tam giác vuông, định lý này phát biểu rằng bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

- Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Liên quan đến các cạnh góc vuông a, b và đường cao h trong một tam giác vuông. $1/h^2 = 1/a^2 + 1/b^2$.