Một hồ nước ở Bắc Ontario đã phục hồi sau một vụ tràn axit khiến tất cả cá hồi ở đó chết. Một chương trình tái thả cá đã thả 800 con cá hồi vào hồ. Ba năm sau, số lượng được ước tính là 6000 con. Sức chứa của hồ nước được cho là 8000 con. Để đánh giá khả năng tăng trưởng, người ta mô phỏng số lượng cá trong hồ qua từng năm thông qua hàm số \(P(t) = \frac{c}{{1 + a.{b^{ - t}}}}\) \(\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\) như hình vẽ bên dưới (trong đó t tính theo năm kể từ lúc bắt đầu thả cá vào hồ).
Sử dụng mô hình trên, hãy tính tốc độ tăng trưởng tối đa (đơn vị: con/năm) của đàn cá. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Sử dụng giả thiết từ để bài để tìm các hệ số a, b, c.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số P'(t) bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy.
Số lượng cá ban đầu là 800 con nên P(0) = 800.
Sau 3 năm, số lượng cá là 6000 con nên P(3) = 6000.
Vì sức chứa tối đa của hồ là 8000 con cá nên \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P(t) = 8000\).
Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}P(0) = 800\\P(3) = 6000\\\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P(t) = 8000\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{c}{{1 + a.{b^{ - 0}}}} = 800\\\frac{c}{{1 + a.{b^{ - 3}}}} = 6000\\\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{c}{{1 + a.{b^{ - t}}}} = 8000\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{c}{{1 + a}} = 800\\\frac{c}{{1 + a.{b^{ - 3}}}} = 6000\\\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{c}{{1 + a.0}} = 8000\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 3\\c = 8000\end{array} \right.\).
Vậy \(P(t) = \frac{{8000}}{{1 + {{9.3}^{ - t}}}} = \frac{{8000}}{{1 + {3^{2 - t}}}}\).
Ta có \(P'(t) = \left( {\frac{{8000}}{{1 + {3^{2 - t}}}}} \right)' = \frac{{8000'.\left( {1 + {3^{2 - t}}} \right) - 8000.\left( {1 + {3^{2 - t}}} \right)'}}{{{{\left( {1 + {3^{2 - t}}} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{0 - 8000.(2 - t)'{{.3}^{2 - t}}.\ln 3}}{{1 + {{2.3}^{2 - t}} + {{\left( {{3^{2 - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{{{8000.3}^{2 - t}}.\ln 3}}{{1 + {{2.3}^{2 - t}} + {{\left( {{3^{2 - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{8000\ln 3}}{{\frac{1}{{{3^{2 - t}}}} + 2 + {3^{2 - t}}}}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \({3^{2 - t}}\) và \(\frac{1}{{{3^{2 - t}}}}\), ta có:
\({3^{2 - t}} + \frac{1}{{{3^{2 - t}}}} \ge 2\sqrt {{3^{2 - t}}.\frac{1}{{{3^{2 - t}}}}} = 2\)
\( \Leftrightarrow {3^{2 - t}} + \frac{1}{{{3^{2 - t}}}} + 2 \ge 4\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{3^{2 - t}} + \frac{1}{{{3^{2 - t}}}} + 2}} \le \frac{1}{4}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{8000\ln 3}}{{{3^{2 - t}} + \frac{1}{{{3^{2 - t}}}} + 2}} \le \frac{{8000\ln 3}}{4}\)
\( \Leftrightarrow P'(t) \le 2000\ln 3 \approx 2197\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {3^{2 - t}} = \frac{1}{{{3^{2 - t}}}} \Leftrightarrow {\left( {{3^{2 - t}}} \right)^2} = 1\)
\( \Leftrightarrow {3^{2 - t}} = 1 \Leftrightarrow 2 - t = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
Vậy tốc độ tăng trưởng tối đa của đàn cá là khoảng 2197 con/năm vào năm thứ 2.
Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm:
Cho \(a,b \ge 0\). Khi đó: \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \).
Danh sách bình luận