Một sân điền kinh gồm hai sân hình bán nguyệt có bán kính x (m, x > 0) và một sân hình chữ nhật như hình vẽ. Biết chu vi của sân điền kinh là 400 m, tìm diện tích lớn nhất của sân hình chữ nhật theo mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Lập hàm số biểu diễn diện tích hình chữ nhật theo x.
Sử dụng đạo hàm tìm GTLN của hàm số.
Theo hình vẽ, một cạnh của hình chữ nhật có chiều dài 2x (m, x > 0).
Gọi độ dài cạnh còn lại là y (m, y > 0).
Chu vi sân là \(C = 2\pi x + 2y = 400\) (m).
Do đó \(y = \frac{{400 - 2\pi x}}{2} = 200 - \pi x\) (m).
Vì \(y > 0 \Leftrightarrow 200 - \pi x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{{200}}{\pi }\).
Diện tích sân hình chữ nhật là:
\(S = 2xy = 2x(200 - x\pi ) = 400x - 2\pi {x^2}\) \(\left( {{m^2}} \right)\).
\(S' = 400 - 4\pi x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{100}}{\pi }\).
Ta có S(0) = 0, \(S\left( {\frac{{100}}{\pi }} \right) \approx 6366\), \(S\left( {\frac{{200}}{\pi }} \right) = 0\).
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là khoảng 6366 mét vuông.
1. Công thức tính chu vi, diện tích
Chu vi sân = 2 lần chu vi bán nguyệt (tức chu vi một hình tròn bán kính x) + 2 lần chiều dài cạnh y của hình chữ nhật.
Diện tích sân hình chữ nhật: chiều dài . chiều rộng.
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).
Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.
Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].
Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].
Danh sách bình luận