Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Lấy N là trung điểm của cạnh AC, hai đoạn thẳng BN và AH cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia NG lấy điểm K sao cho NK = NG.

a) Chứng minh \(\Delta ABH = \Delta ACH\).

b) Chứng minh \(CK \bot BC\).

c) Gọi I là giao điểm của KH và CG. Chứng minh I là trọng tâm của \(\Delta BCK\).

d) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh \(GM < \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)\).

Phương pháp giải

Dựa vào giả thiết để vẽ hình.

a) Chứng minh \(\Delta ABH = \Delta ACH\) theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông.

b) Chứng minh \(\Delta AGN = \Delta CKN\left( {c.g.c} \right)\) suy ra hai góc bằng nhau.

Mà hai góc bằng nhau đó ở vị trí so le trong nên suy ra AG // CK hay AH // CK.

Kết hợp với AH \( \bot \) BC nên \(CK \bot BC\).

c) Chứng minh G là trung điểm của BK; H là trung điểm của BC nên có hai đường trung tuyến cắt nhau tại I.

Do đó I là trọng tâm của tam giác BCK.

d) Chứng minh GM = GN

Chứng minh \(GN = \frac{1}{4}BK\)

Chứng minh \(BK < BC + CK\)

Chứng minh AG = CK (6)

Kết hợp lại ta được điều phải chứng minh

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Vì \(AH \bot BC\) nên \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \).

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) có:

\(AB = AC\)

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AH chung

nên \(\Delta ABH = \Delta ACH\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

b) Xét \(\Delta AGN\) và \(\Delta CKN\) có:

\(AN = NC\) (N là trung điểm của AC)

\(\widehat {ANG} = \widehat {CNK}\) (hai góc đối đỉnh)

\(GN = NK\) (gt)

nên \(\Delta AGN = \Delta CKN\left( {c.g.c} \right)\)

suy ra \(\widehat {AGN} = \widehat {CKN}\).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AG // CK hay AH // CK.

Mà \(AH \bot BC\) nên \(CK \bot BC\).

c)

Vì \(\Delta ABH = \Delta ACH\) nên BH = CH, mà \(H \in BC\) suy ra H là trung điểm của BC.

Do đó AH là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì N là trung điểm của AC nên BN là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Mà BN cắt AH tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra \(BG = \frac{2}{3}BN\) và \(GN = \frac{1}{3}BN\), do đó \(BG = 2GN\) (1)

Vì NK = NG và \(N \in GK\) nên N là trung điểm của GK, suy ra \(GK = 2GN\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra BG = KG.

Do đó G là trung điểm của BK.

Xét tam giác BCK có:

CG là đường trung tuyến (vì G là trung điểm của BK)

KH là đường trung tuyến (vì H là trung điểm của BC)

Mà KH cắt CG tại I

Do đó I là trọng tâm của tam giác BCK.

d) Vì tam giác ABC cân nên hai đường trung tuyến BN = CM, do đó GM = GN (3)

Mà \(GK = 2GN\) nên \(GN = \frac{1}{2}GK\).

Mà \(GK = \frac{1}{2}BK\) (vì G là trung điểm của BK) nên \(GN = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}BK = \frac{1}{4}BK\) (4)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác BCK, ta có: \(BK < BC + CK\) (5)

Vì \(\Delta AGN = \Delta CKN\left( {c.g.c} \right)\) nên AG = CK (6)

Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra \(GM < \frac{1}{4}\left( {BC + CK} \right) = \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)\)

Vậy \(GM < \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)\)