Đề bài

Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M và N.

1. Chứng minh \(CM.DN=a^2\)

2. Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh \(\widehat{MKN}=90^\circ\).

Phương pháp giải

1. Chứng minh AB // CD

Áp dụng hệ quả của định lí Thalès với AB // CM và AB // DN để chứng minh \(\frac{CM}{AB} = \frac{CE}{BE}\) và \(\frac{AF}{FD} = \frac{BA}{DN}\)

Sử dụng cộng đoạn thẳng để chứng minh FD = BE

Suy ra tỉ số bằng nhau \(\frac{CM}{AB} = \frac{BA}{DN}\)

Hay \(CM . DN = AB^2 = a^2\)

2. Vì \(\frac{CM}{AB} = \frac{BA}{DN}\) nên \(\frac{CM}{CB} = \frac{AD}{DN}\) (vì AB = BC = AD)

Chứng minh \(\Delta CMB \backsim \Delta DAN\) (c.g.c)

Do đó \(\widehat{CMB} = \widehat{DAN}\)

Suy ra \(\widehat{CMB} + \widehat{DNA}\) = 90°

Xét tam giác KMN suy ra \(\widehat{MKN} = 90^\circ\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

1. Vì ABCD là hình vuông nên AB // CD, AD = BC

Áp dụng hệ quả của định lí Thalès với AB // CM và AB // DN (do AB // CD), ta có: 

\(\frac{CM}{AB} = \frac{CE}{BE}\) và \(\frac{AF}{FD} = \frac{BA}{DN}\)

Ta có: AD = AF + FD, BC = BE + EC

Mà AD = BC (cmt), AF = CE (gt)

Nên FD = BE

Suy ra \(\frac{AF}{FD} = \frac{CE}{BE}\)

Do đó \(\frac{CM}{AB} = \frac{BA}{DN}\)

Hay \(CM . DN = AB^2 = a^2\)

2. Vì \(\frac{CM}{AB} = \frac{BA}{DN}\) nên \(\frac{CM}{CB} = \frac{AD}{DN}\) (vì AB = BC = AD)

Xét \(\Delta CMB\) và \(\Delta DAN\) có:

\(\frac{CM}{CB} = \frac{AD}{DN}\)

\(\widehat{MCB} = \widehat{ADN} = 90^\circ\)

Suy ra \(\Delta CMB \backsim \Delta DAN\) (c.g.c)

Do đó \(\widehat{CMB} = \widehat{DAN}\)

Suy ra \(\widehat{CMB} + \widehat{DNA}\) = 90° (do \(\widehat{DAN} + \widehat{DNA} = 90^\circ\))

Do đó \(\widehat{MKN} = 90^\circ\) (tổng ba góc trong tam giác KMN)

Mở rộng

Lý thuyết liên quan

- Tính chất của hình vuông: Một hình vuông là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông ($90^\circ$). Các cặp cạnh đối của hình vuông song song với nhau.

Trong hình vuông ABCD cạnh $a$: $AB = BC = CD = DA = a$.

$AB // CD$, $AD // BC$.

$\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90^\circ$.

- Định lí Thales và Hệ quả:

+ Định lí Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

+ Hệ quả của Định lí Thales: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì nó tạo ra một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. Quan trọng hơn, tỉ số các cạnh tương ứng của tam giác mới và tam giác ban đầu sẽ bằng tỉ số các đoạn thẳng trên hai cạnh bị cắt.

Ví dụ: Nếu $\Delta ABC$ có $MN // BC$ ($M \in AB$, $N \in AC$), thì $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$.

- Tam giác đồng dạng:

+ Trường hợp đồng dạng Cạnh-Góc-Cạnh (c.g.c): Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc xen giữa hai cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

Ví dụ: $\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'$ nếu $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$ và $\widehat{A} = \widehat{A'}$.

+ Tính chất của tam giác đồng dạng: Khi hai tam giác đồng dạng, các góc tương ứng của chúng bằng nhau.

- Tổng ba góc trong một tam giác: Tổng số đo ba góc trong một tam giác luôn bằng $180^\circ$.

- Góc phụ nhau trong tam giác vuông: Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn có tổng bằng $90^\circ$.

Mẹo nhỏ: Khi gặp bài toán chứng minh góc vuông, đặc biệt là khi giao điểm của các đường không nằm trong một tam giác vuông rõ ràng, hãy nghĩ đến việc chứng minh hai góc khác trong cùng một tam giác có tổng bằng $90^\circ$ hoặc sử dụng các tam giác đồng dạng để "chuyển" các góc từ vị trí này sang vị trí khác.