Đề bài

Máng trượt của một cầu trượt cho trẻ em được uốn từ một tấm kim loại bề rộng 80 cm, mặt cắt được mô tả như hình vẽ (x là chiều cao và y là chiều rộng của mặt cắt). Nhà thiết kế khuyến cáo, diện tích mặt cắt càng lớn thì càng đảm bảo an toàn cho trẻ em. Khi cầu trượt đảm bảo an toàn cho trẻ em nhất thì giá trị của x là bao nhiêu centimet?

Phương pháp giải

Lập hàm số biểu diễn diện tích của mặt cắt. Tìm x sao cho hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Chiều cao của máng là x (cm; x > 0).

Chiều rộng của máng là y (cm; y > 0).

Bề rộng của máng bằng 80 cm nên ta có:

\(2x + y = 80 \Rightarrow y = 80 - 2x\) (cm).

Diện tích mặt cắt của máng là:

\(S = x(80 - 2x) =  - 2{x^2} + 80x\) \(\left( {c{m^2}} \right)\).

Xét hàm số \(S(x) =  - 2{x^2} + 80x\) với 0 < x < 40:

\(S'(x) =  - 4x + 80 = 0 \Leftrightarrow x = 20\).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, diện tích mặt cắt lớn nhất là 800  khi x = 20 cm.

Vậy cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em thì giá trị của x là 20 (cm).

Mở rộng

Tìm GTLN, GTNN của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.

Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].

Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].