Lúc 6h30 phút sáng, một ca nô xuôi dòng sông từ A đến B dài 48 km. Khi đến B, ca nô nghỉ 30 phút sau đó lại ngược dòng từ B về đến A lúc 10 giờ 36 phút cùng ngày. Tìm vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc của dòng nước là 3 km/h.
Gọi vận tốc riêng của ca nô là \(x\) (km/h), \(x > 3\).
Biểu diễn vận tốc xuôi dòng, vận tốc ngược dòng của ca nô.
Biểu diễn thời gian ca nô xuôi dòng sông từ A đến B và ngược dòng từ B về đến A
Tính tổng thời gian ca nô từ lúc xuôi dòng đến ngược dòng. Từ đó lập phương trình.
Giải phương trình, kiểm tra điều kiện và kết luận.
Ta được phương trình: $\frac{48}{x+3}+\frac{1}{2}+\frac{48}{x-3}=\frac{41}{10}$
Gọi vận tốc riêng của ca nô là \(x\) (km/h), \(x > 3\).
Khi đó vận tốc xuôi dòng của ca nô là \(x + 3\) (km/h), vận tốc ngược dòng của ca nô là \(x - 3\) (km/h)
Thời gian ca nô xuôi dòng sông từ A đến B là: \(\frac{{48}}{{x + 3}}\) (h)
Thời gian ca nô ngược dòng từ B về đến A là \(\frac{{48}}{{x - 3}}\) (h)
Đổi 30 phút = \(\frac{1}{2}\) giờ.
Ta có: 10 giờ 36 phút – 6 giờ 30 phút = 4 giờ 6 phút = \(\frac{{41}}{{10}}\) giờ.
Vì ca nô đi xuôi dòng từ A đến B, nghỉ 30 phút rồi đi ngược dòng từ B về A hết \(\frac{{41}}{{10}}\) giờ nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\frac{{48}}{{x + 3}} + \frac{1}{2} + \frac{{48}}{{x - 3}} = \frac{{41}}{{10}}\\\frac{{48}}{{x + 3}} + \frac{{48}}{{x - 3}} = \frac{{18}}{5}\\\frac{{48.5.\left( {x - 3} \right)}}{{5\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{48.5.\left( {x + 3} \right)}}{{5\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{18\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{5\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\240x - 720 + 240x + 720 = 18{x^2} - 162\\18{x^2} - 480x - 162 = 0\end{array}\)
Giải phương trình, ta được: \({x_1} = 27\left( {TM} \right);{x_2} = - \frac{1}{3}\left( {KTM} \right)\).
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 27km/h.
Bài toán này là một dạng bài tập về chuyển động trên dòng nước, một ứng dụng thực tế của việc lập và giải phương trình, đặc biệt là phương trình bậc hai, để giải các bài toán có lời văn.
Nguyên tắc về chuyển động trên dòng nước:
+ Vận tốc xuôi dòng: Vận tốc của vật khi đi cùng chiều dòng nước bằng tổng vận tốc riêng của vật (khi nước yên lặng) và vận tốc dòng nước.
+ Vận tốc ngược dòng: Vận tốc của vật khi đi ngược chiều dòng nước bằng hiệu vận tốc riêng của vật và vận tốc dòng nước.
+ Mối liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian: Thời gian di chuyển bằng quãng đường chia cho vận tốc ($t = \frac{s}{v}$).
Tổng thời gian từ lúc bắt đầu xuôi dòng (6h30) đến lúc kết thúc ngược dòng (10h36) là 4 giờ 6 phút, tức $\frac{41}{10}$ giờ. Thời gian này bao gồm thời gian xuôi dòng, thời gian nghỉ 30 phút ($\frac{1}{2}$ giờ), và thời gian ngược dòng.
Dạng bài toán có lời văn dẫn đến phương trình (như bài toán ca nô này, hay các bài toán khác về chuyển động, năng suất, hình học...) có thể được giải theo các bước sau:
Bước 1: Lập phương trình
+ Chọn ẩn số (thường là đại lượng cần tìm) và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết từ đề bài.
+ Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng đã được biểu diễn và các dữ kiện của bài toán để lập một phương trình (thường là phương trình bậc hai hoặc đưa về dạng phương trình bậc hai).
Bước 2: Giải phương trình
Giải phương trình đã lập ở Bước 1.
Bước 3: Kiểm tra và kết luận
+ Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn đã đặt ở Bước 1.
+ Chỉ những nghiệm thỏa mãn điều kiện mới là nghiệm của bài toán.
+ Kết luận về giá trị của đại lượng cần tìm theo yêu cầu của đề bài.
Danh sách bình luận