Cho hai khối trụ có bán kính đáy bằng 3 và có trục là hai đường thẳng cắt nhau, vuông góc với nhau (hình vẽ bên dưới). Gọi (H) là phần giao nhau của hai khối trụ đó. Tính thể tích của (H).
Sử dụng công thức tính thể tích vật thể \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \).
Cắt một phần tư khối trụ và gọi (D) là phần giao nhau của chúng như hình.
Khi đó \({V_H} = 8.{V_D}\).
Giả sử mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với (Oxz), cách (Oxz) một khoảng x (với \(0 \le x \le 3\)).
Khi đó, \(\left( \alpha \right)\) cắt (D) theo thiết diện là hình vuông MNPQ.
Xét trong mặt phẳng (Oxy), đường tròn tâm O, bán kính R = 3 có phương trình:
\({\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 9 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt {9 - {x^2}} \).
Ta chỉ xét một phần tư đường tròn có tung độ dương nên \(y = \sqrt {9 - {x^2}} \).
Vì N thuộc một phần tư đường tròn đó nên \(N\left( {x;\sqrt {9 - {x^2}} } \right)\).
Vì \(MN \bot Ox\) và \(M \in Ox\) nên \(MN = \sqrt {9 - {x^2}} \).
Diện tích hình vuông là \(S(x) = M{N^2} = 9 - {x^2}\).
Thể tích hình khối (D) là \({V_D} = \int\limits_0^3 {\left( {9 - {x^2}} \right)dx} = 18\).
Vậy \({V_H} = 8.{V_D} = 8.18 = 144\).
Tính thể tích vật thể bằng tích phân:
Phương pháp này cho phép tính thể tích của một vật thể không gian bằng cách chia vật thể thành các lát "rất mỏng" song song với một mặt phẳng cố định. Thể tích của mỗi lát có thể được xấp xỉ bằng diện tích mặt cắt nhân với chiều dày rất nhỏ của lát đó. Bằng cách tổng hợp (tích phân) thể tích của tất cả các lát này trên toàn bộ chiều dài của vật thể theo hướng cắt, ta sẽ thu được thể tích chính xác của vật thể.
Nếu ta cắt vật thể bằng các mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định (ví dụ mặt phẳng (Oyz)) và gọi x là vị trí của mặt phẳng cắt (khoảng cách từ mặt phẳng gốc), thì diện tích mặt cắt S(x) sẽ là một hàm của x. Thể tích V của vật thể giới hạn bởi mặt phẳng x = a và x = b được tính bởi công thức: \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \).
Danh sách bình luận