Bác Hùng có một khu vườn hình thang vuông ABCD với AB = 35 m, AD = 30 m. Bác ấy đào một cái hồ để trồng sen, hồ được bao quanh bởi cạnh BC và đường cong BIC là một phần của một parabol đỉnh tại I như hình bên. Bác Hùng muốn làm một con đường đi từ điểm M trên cạnh AD ra mép hồ sen rồi lại từ đó tới một điểm trên cạnh AB. Điểm M cách A bao nhiêu để tổng chiều dài con đường là ngắn nhất, biết khoảng cách từ điểm I đến AB và AD tương ứng là 20 m và 15 m.
Gắn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp. Lập phương trình parabol.
Lấy điểm E thuộc parabol và N thuộc AB.
Lập hàm số biểu diễn độ dài con đường ME + EN theo hoành độ điểm E.
Tìm hoành độ điểm E sao cho hàm số đạt giá trị nhỏ nhất, từ đó suy ra độ dài AM.
Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình, với O trùng A, D thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy.
Khoảng cách từ điểm I đến AB và AD tương ứng là 20 m và 15 m nên I(20;15).
Theo giả thiết, AB = 35 m và AD = 30 m nên A(0;0), B(0;35), D(30;0).
Giả sử parabol có phương trình là \(y = a{x^2} + bx + c\) (a > 0).
Parabol đi qua B(0;35), có đỉnh I(20;15) nên ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}35 = a{.0^2} + b.0 + c\\15 = a{.20^2} + b.20 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{20}}\\b = - 2\\c = 35\end{array} \right. \Rightarrow y = \frac{1}{{20}}{x^2} - 2x + 35\).
Gọi E là một điểm thuộc parabol, N là một điểm thuộc đoạn AB.
Con đường bác Hùng muốn làm là đoạn ME + EN ngắn nhất.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của E lên AD, AB.
Ta có \(ME + EN = \sqrt {E{H^2} + H{M^2}} + \sqrt {E{K^2} + K{N^2}} \) ngắn nhất khi HM = KN = 0.
Khi đó \(ME + EN = \sqrt {E{H^2}} + \sqrt {E{K^2}} \)
\(= EH + EK = d\left( {E,Ox} \right) + d\left( {E,Oy} \right) = {y_E} + {x_E}\).
Vì E thuộc parabol có phương trình \(y = \frac{1}{{20}}{x^2} - 2x + 35\) nên \(E\left( {{x_E};\frac{1}{{20}}{x_E}^2 - 2{x_E} + 35} \right)\).
Do đó ME + EN ngắn nhất bằng:
\(\left( {\frac{1}{{20}}{x_E}^2 - 2{x_E} + 35} \right) + {x_E}\)
\(= \frac{1}{{20}}{x_E}^2 - {x_E} + 35 = f({x_E})\).
Cần tìm GTNN của \(f({x_E}) = \frac{1}{{20}}{x_E}^2 - {x_E} + 35\) trên [0;30].
\(f'({x_E}) = \frac{1}{{10}}{x_E} - 1 = 0 \Leftrightarrow {x_E} = 10\).
Ta có f(0) = 35; f(10) = 30; f(30) = 50.
Vì 30 < 35 < 50 nên GTNN của \(f({x_E})\) trên [0;30] là 30.
Khi đó, M trùng H và có tọa độ (10;0).
Vậy M cách A một đoạn 10 mét thì tổng chiều dài con đường là ngắn nhất, bằng 30 mét.
Các lý thuyết và công thức được áp dụng:
1. Phương pháp tọa độ:
Việc sử dụng hệ trục tọa độ là một nguyên tắc cơ bản của hình học giải tích để chuyển bài toán hình học sang bài toán đại số. Hệ trục được chọn sao cho phương trình parabol có dạng đơn giản nhất.
2. Xác định phương trình đường parabol:
Phương trình parabol có dạng . Từ các điểm mà đồ thị qua, thay tọa độ vào phương trình trên để tìm được hệ số a, b, c.
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).
Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.
Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].
Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].
Danh sách bình luận