Đề bài

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\)  và điểm $A\left( {5,4, - 2} \right)$. Phương trình mặt cầu đi qua điểm $A$ và có tâm là giao điểm của $d$ với mặt phẳng $(Oxy)$ là

• A. \((S):{(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 65.\)           
• B. \((S):{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 9.\)
• C. \((S):{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 64.\)
• D. \((S):{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 65.\) 

Phương pháp giải

- Tìm tâm mặt cầu: Tọa độ giao điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng và mặt cầu.

- Tính bán kính mặt cầu, từ đó suy ra phương trình mặt cầu.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Giả sử $M$ là giao điểm của $d$ với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

Viết phương trình đường thẳng $d$ dưới dạng tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}&{}\\{y = 1 + 2t}&{}\\{z =  - 1 - t}&{}\end{array}} \right.\)

Ta có $M$ thuộc $d$ nên $M\left( {t,2t + 1, - t - 1} \right)$ .

Vì M thuộc $\left( {Oxy} \right):z = 0$ nên có $ - t - 1 = 0$  hay $t =  - 1$, suy ra $M\left( { - 1, - 1,0} \right)$.

Phương trình mặt cầu cần tìm có tâm $M\left( { - 1, - 1,0} \right)$, bán kính \(MA = \sqrt {{{(5 + 1)}^2} + {{(4 + 1)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2}}  = \sqrt {65} \)

Đáp án : A

Chú ý

Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án D vì tính sai tọa độ điểm \(M\).