Đề bài

Họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong Hình 3 (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét). Làm thế nào để tính diện tích logo?

Phương pháp giải

Để tính được diện tích của logo ta cần xác định các hàm số f(x) và g(x), sau đó sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số f(x), g(x) và hai đường thẳng x = -5, x = 4.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi phương trình parabol f(x) là \(y = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}\) và phương trình parabol g(x) là \(y = {a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}\).

Quan sát Hình 3, thấy đồ thị f(x) đi qua các điểm có tọa độ (0;2), (4;0), (-4;0) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 = {a_1}{.0^2} + {b_1}.0 + {c_1}\\0 = {a_1}{.4^2} + {b_1}.4 + {c_1}\\y = {a_1}{( - 4)^2} + {b_1}( - 4) + {c_1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} =  - \frac{1}{8}\\{b_1} = 0\\{c_1} = 2\end{array} \right. \Rightarrow y =  - \frac{1}{8}{x^2} + 2\).

Quan sát Hình 3, thấy đồ thị g(x) đi qua các điểm có tọa độ (0;-3), (4;0), (-4;0) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 3 = {a_2}{.0^2} + {b_2}.0 + {c_2}\\0 = {a_2}{.4^2} + {b_2}.4 + {c_2}\\0 = {a_2}{( - 4)^2} + {b_2}( - 4) + {c_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_2} = \frac{3}{{16}}\\{b_2} = 0\\{c_2} =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow y = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\).

Ta có \(f(x) - g(x) =  - \frac{1}{8}{x^2} + 2 - \left( {\frac{3}{{16}}{x^2} - 3} \right) =  - \frac{5}{{16}}{x^2} + 5\).

Diện tích logo là:

\(S = \int\limits_{ - 5}^4 {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}  = \int\limits_{ - 5}^{ - 4} {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}  + \int\limits_{ - 4}^4 {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \)

\( = \int\limits_{ - 5}^{ - 4} {\left( {g(x) - f(x)} \right)dx}  + \int\limits_{ - 4}^4 {\left( {f(x) - g(x)} \right)dx} \)

\( = \int\limits_{ - 5}^{ - 4} {\left( {\frac{5}{{16}}{x^2} - 5} \right)dx}  + \int\limits_{ - 4}^4 {\left( { - \frac{5}{{16}}{x^2} + 5} \right)dx} \)

\( = \left( {\frac{5}{{48}}{x^3} - 5x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{ - 4}}\\{_{ - 5}}\end{array}} \right. + \left( { - \frac{5}{{48}}{x^3} + 5x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^4}\\{_{ - 4}}\end{array}} \right. = \frac{{45}}{{48}} + \frac{{80}}{3} = \frac{{1345}}{{48}}\) \(\left( {d{m^2}} \right)\).