Đề bài

Ta đã biết công thức tính thể tích của khối cầu bán kính R là \(V = \frac{{4\pi {R^3}}}{3}\). Làm thế nào để tìm ra công thức đó?

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính thể tích ứng dụng tích phân: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đường tròn tâm O(0;0), bán kính R có phương trình \({x^2} + {y^2} = {R^2} \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {{R^2} - {x^2}} \).

Ta xét nửa đường tròn nằm phía trên trục Ox: \(y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \).

Khối cầu có bán kính R là khối tròn xoay nhận được khi qua nửa hình tròn giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \) \(\left( {R \le x \le R} \right)\) và trục Ox quanh trục Ox.

Từ đó, thể tích khối cầu là:

\(V = \pi \int\limits_{ - R}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)dx} \)

\(= \pi \left( {{R^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^R}\\{_{ - R}}\end{array}} \right. = \frac{{4\pi {R^3}}}{3}\).