Đề bài

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500 m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, mỗi nhịp cách nhau 40 m, biết 2 bên đầu cầu và giữa mỗi nhịp cầu người ta xây 1 chân trụ rộng 5 m. Bề dày và bề rộng của nhịp cầu không đổi là 20 cm (mặt cắt của một nhịp cầu được mô phỏng như hình vẽ). Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)?

• A. 20 \({m^3}\)
• B. 50 \({m^3}\)
• C. 40 \({m^3}\)
• D. 100 \({m^3}\)

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ có vị trí phù hợp.

Lập phương trình hai parabol rồi áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gắn hệ trục tọa độ như hình.

Khi đó, ta có O(0;0), I(25;2), A(50;0).

Gọi parabol giới hạn phần trên của nhịp cầu là \(({P_1})\), parabol giới hạn phần dưới của nhịp cầu là \(({P_2})\).

Giả sử \(({P_1})\) có phương trình \(y = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}\), \(({P_2})\) có phương trình \(y = {a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}\).

\(({P_1})\) đi qua các điểm O(0;0), I(25;2), A(50;0) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = {a_1}{.0^2} + {b_1}.0 + {c_1}\\2 = {a_1}{.25^2} + {b_1}.25 + {c_1}\\0 = {a_1}{.50^2} + {b_1}.50 + {c_1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} =  - \frac{2}{{625}}\\{b_1} = \frac{4}{{25}}\\{c_1} = 0\end{array} \right. \Rightarrow y =  - \frac{2}{{625}}{x^2} + \frac{4}{{25}}x\).

Nhịp cầu rộng 20 cm = 0,2 m nên \(({P_2})\) có phương trình \(y =  - \frac{2}{{625}}{x^2} + \frac{4}{{25}}x - \frac{1}{5}\).

Diện tích mặt cắt nhịp cầu là:

\(S = \int\limits_0^{\frac{1}{5}} {\left( { - \frac{2}{{625}}{x^2} + \frac{4}{{25}}x} \right)dx}  + \int\limits_{\frac{1}{5}}^{\frac{{249}}{5}} {\frac{1}{5}dx}  \approx 9,923\) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Lượng bê tông cần dùng là:

\(S.0,2.10.2 \approx 9,923.0,2.10.2 \approx 40\) \(\left( {{m^3}} \right)\).

Nguồn: Hoidap247.

Đáp án : C

Mở rộng

Để giải bài toán tính thể tích bồn nước có mặt cắt hình parabol, nguồn đã áp dụng các lý thuyết và công thức sau:

1. Phương pháp tọa độ:

Việc sử dụng hệ trục tọa độ là một nguyên tắc cơ bản của hình học giải tích để chuyển bài toán hình học sang bài toán đại số. Hệ trục được chọn sao cho phương trình parabol có dạng đơn giản nhất.

2. Xác định phương trình đường parabol:

Phương trình parabol có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Từ các điểm mà đồ thị qua, thay tọa độ vào phương trình trên để tìm được hệ số a, b, c.

3. Diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành, đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).