Trong một cộng đồng, tỉ lệ nam giới không có vấn đề về tuần hoàn máu cao gấp 3 lần tỉ lệ nam giới có vấn đề về tuần hoàn máu. Tỉ lệ người hút thuốc trong những người có vấn đề về tuần hoàn máu cao gấp 2 lần tỉ lệ những người hút thuốc trong những người không có vấn đề về tuần hoàn máu cao. Chọn ngẫu nhiên một nam giới ở cộng đồng.
Gọi A là biến cố: “Người được chọn có vấn đề về tuần hoàn máu”.
Gọi B là biến cố: “Người được chọn hút thuốc”.
a) \(P\left( {\overline A } \right) = 0,25\).
b) \(P\left( {A|B} \right) = 2P\left( {\overline A |B} \right)\).
c) \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{4}{3}P\left( {\overline A |B} \right).P\left( B \right)\).
d) \(P\left( {A|B} \right) < 0,5\).
a) \(P\left( {\overline A } \right) = 0,25\).
b) \(P\left( {A|B} \right) = 2P\left( {\overline A |B} \right)\).
c) \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{4}{3}P\left( {\overline A |B} \right).P\left( B \right)\).
d) \(P\left( {A|B} \right) < 0,5\).
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện, công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.
Từ giả thiết suy ra:
\(\overline A \): “Người được chọn không có vấn đề về tuần hoàn máu”.
\(\overline B \): “Người được chọn không hút thuốc”.
a) Sai. Tỉ lệ nam giới không có vấn đề về tuần hoàn máu cao gấp 3 lần tỉ lệ nam giới có vấn đề về tuần hoàn máu nên \(P\left( {\overline A } \right) = 3P\left( A \right)\).
Ta có \(P\left( A \right) + P\left( {\overline A } \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( A \right) + 3P\left( A \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( A \right) = \frac{1}{4} = 0,25\).
b) Sai. Tỉ lệ người hút thuốc trong những người có vấn đề về tuần hoàn máu cao gấp 2 lần tỉ lệ những người hút thuốc trong những người không có vấn đề về tuần hoàn máu cao nên:
\(P\left( {B|A} \right) = 2P\left( {\overline B |A} \right)\).
Ta có \(P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right).P\left( A \right) + P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right) = \frac{{P\left( {B|A} \right)}}{4} + \frac{{3P\left( {B|A} \right)}}{8}\).
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{4}P\left( {B|A} \right)}}{{\frac{{P\left( {B|A} \right)}}{4} + \frac{{3P\left( {B|A} \right)}}{8}}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}.\frac{3}{4}}} = \frac{2}{5}\).
\(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{3}{4}.\frac{{P\left( {B|A} \right)}}{2}}}{{\frac{{P\left( {B|A} \right)}}{4} + \frac{{3P\left( {B|A} \right)}}{8}}} = \frac{{\frac{3}{8}}}{{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}.\frac{3}{4}}} = \frac{3}{5}\).
Vậy \(\frac{{P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( {\overline A |B} \right)}} = \frac{{\frac{2}{5}}}{{\frac{3}{5}}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow P\left( {A|B} \right) = \frac{2}{3}P\left( {\overline A |B} \right)\).
c) Đúng. Ta có: \(P\left( {\overline A B} \right) = P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline A |B} \right).P\left( B \right)\)
\( \Leftrightarrow P\left( {B|\overline A } \right).\frac{3}{4} = P\left( {\overline A |B} \right).P\left( B \right) \Leftrightarrow P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{4}{3}P\left( {\overline A |B} \right).P\left( B \right)\).
d) Đúng. Ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{2}{5} = 0,4 < 0,5\).
1. Xác suất có điều kiện:
Xác suất có điều kiện là xác suất của một sự kiện xảy ra khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Xác suất có điều kiện được biểu thị dưới dạng P(X|Y), có nghĩa là xác suất của sự kiện X xảy ra, biết rằng sự kiện Y đã xảy ra.
Công thức xác suất có điều kiện:
$P(B|A) = \dfrac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)}$.
2. Công thức xác suất toàn phần
Công thức này được sử dụng để tính xác suất của một biến cố B khi không biết trực tiếp, nhưng biết xác suất của B xảy ra dưới các điều kiện của một hệ đầy đủ các biến cố xung khắc $(A_1, A_2, ..., A_n)$. Hệ biến cố $A_1, A_2, ..., A_n$ được gọi là đầy đủ nếu hợp của chúng là không gian mẫu và chúng đôi một xung khắc. Công thức có dạng:
$P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + ... + P(B|A_n)P(A_n)$.
3. Công thức Bayes
Công thức Bayes cho phép tính xác suất có điều kiện của một biến cố (A) khi biết một biến cố khác (B) đã xảy ra. Nó liên hệ xác suất có điều kiện P(A|B) với xác suất có điều kiện ngược lại P(B|A) và xác suất riêng của các biến cố P(A) và P(B). Công thức có dạng:
$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$.
Danh sách bình luận