Có hai phác đồ điều trị A và B cho một loại bệnh. Phác đồ A có xác suất chữa khỏi bệnh là 60% và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là 5%. Phác đồ B có xác suất chữa khỏi bệnh là 70% và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là 10%. Một bệnh nhân được điều trị ngẫu nhiên bằng một trong hai phác đồ (xác suất chọn mỗi phác đồ là 50%).
a) Xác suất bệnh nhân điều trị bằng phác đồ A và được chữa khỏi bệnh là 0,6.
b) Xác suất để bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiệm trọng là 0,075.
c) Nếu biết bệnh nhân này gặp tác dụng phụ nghiêm trọng thì xác suất bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ B lớn hơn 0,65.
d) Biết rằng trong mỗi phác đồ điều trị thì biến cố "bệnh nhân được chữa khỏi bệnh" và biến cố "bệnh nhân không bị tác dụng phụ nghiêm trọng" là độc lập với nhau. Xác suất bệnh nhân khỏi bệnh và không bị tác dụng phụ nghiêm trọng là 0,6 (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
a) Xác suất bệnh nhân điều trị bằng phác đồ A và được chữa khỏi bệnh là 0,6.
b) Xác suất để bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiệm trọng là 0,075.
c) Nếu biết bệnh nhân này gặp tác dụng phụ nghiêm trọng thì xác suất bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ B lớn hơn 0,65.
d) Biết rằng trong mỗi phác đồ điều trị thì biến cố "bệnh nhân được chữa khỏi bệnh" và biến cố "bệnh nhân không bị tác dụng phụ nghiêm trọng" là độc lập với nhau. Xác suất bệnh nhân khỏi bệnh và không bị tác dụng phụ nghiêm trọng là 0,6 (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.
Gọi các biến cố:
M: “Bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ A”.
Suy ra \(\overline M \): “Bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ B”.
N: “Bệnh nhân khỏi bệnh”.
Q: “Bệnh nhân gặp tác dụng phụ nghiêm trọng”.
Ta có \(P(M) = P(\overline M ) = 0,5\).
Phác đồ A có xác suất chữa khỏi bệnh là 60% nên P(N|M) = 0,6.
Phác đồ A có xác suất gây tác dụng phụ là 5% nên P(Q|M) = 0,05.
Phác đồ B có xác suất chữa khỏi bệnh là 70% nên \(P(N|\overline M ) = 0,7\).
Phác đồ B có xác suất gây tác dụng phụ là 10% nên \(P(Q|\overline M ) = 0,1\).
a) Sai. Xác suất bệnh nhân điều trị bằng phác đồ A và được chữa khỏi bệnh là:
P(M).P(N|M) = 0,5.0,6 = 0,3.
b) Đúng. Xác suất bệnh nhân gặp tác dụng phụ nghiêm trọng là:
\(P(Q) = P(M).P(Q|M) + P(\overline M ).P(Q|\overline M ) = 0,5.0,05 + 0,5.0,1 = 0,075\).
c) Đúng. Xác suất bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng điều trị bằng phác đồ B là:
\(P(\overline M |Q) = \frac{{P(Q|\overline M ).P(\overline M )}}{{P(Q)}} = \frac{{0,1.0,5}}{{0,075}} = \frac{2}{3} > 0,65\).
d) Đúng.
Xác suất bệnh nhân khỏi bệnh và không gặp tác dụng phụ khi điều trị bằng phác đồ A:
0,6.(1 – 0,05) = 0,57.
Xác suất bệnh nhân khỏi bệnh và không gặp tác dụng phụ khi điều trị bằng phác đồ B:
0,7.(1 – 0,1) = 0,63.
Xác suất bệnh nhân khỏi bệnh và không gặp tác dụng phụ khi điều trị:
0,57.0,5 + 0,63.0,5 = 0,6.
1. Xác suất có điều kiện:
Xác suất có điều kiện là xác suất của một sự kiện xảy ra khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Xác suất có điều kiện được biểu thị dưới dạng P(X|Y), có nghĩa là xác suất của sự kiện X xảy ra, biết rằng sự kiện Y đã xảy ra.
Công thức xác suất có điều kiện:
$P(B|A) = \dfrac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)}$.
2. Công thức xác suất toàn phần
Công thức này được sử dụng để tính xác suất của một biến cố B khi không biết trực tiếp, nhưng biết xác suất của B xảy ra dưới các điều kiện của một hệ đầy đủ các biến cố xung khắc $(A_1, A_2, ..., A_n)$. Hệ biến cố $A_1, A_2, ..., A_n$ được gọi là đầy đủ nếu hợp của chúng là không gian mẫu và chúng đôi một xung khắc. Công thức có dạng:
$P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + ... + P(B|A_n)P(A_n)$.
3. Công thức Bayes
Công thức Bayes cho phép tính xác suất có điều kiện của một biến cố (A) khi biết một biến cố khác (B) đã xảy ra. Nó liên hệ xác suất có điều kiện P(A|B) với xác suất có điều kiện ngược lại P(B|A) và xác suất riêng của các biến cố P(A) và P(B). Công thức có dạng:
$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$.
Danh sách bình luận