Đề bài

Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng parabol đỉnh S như hình vẽ. Biết OS = AB = 4 m, O là trung điểm AB. Parabol trên được chia thành ba phần để sơn ba màu khác nhau với mức chi phí: Phần kẻ sọc 140 000 đồng/\({m^2}\), phần giữa là hình quạt tâm O, bán kính 2 m được tô đậm 150 000 đồng/\({m^2}\), phần còn lại 160 000 đồng/\({m^2}\). Tổng chi phí để sơn ba phần gần nhất với số nào sau đây?

• A. 1 575 000 đồng
• B. 1 600 000 đồng
• C. 1 579 000 đồng
• D. 1 625 000 đồng

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.

Lập phương trình của parabol và đường tròn.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gắn hệ trục tọa độ Oxy gốc O, B thuộc tia Ox, S thuộc tia Oy.

Khi đó, A(-2;0), B(2;0) và S(0;4).

Đường tròn tâm O đường kính AB có phương trình \({x^2} + {y^2} = 4 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {4 - {x^2}} \).

Ta chỉ xét đường tròn nằm phía trên trục Ox: \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \).

Giả sử phương trình parabol có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) (a < 0).

Parabol đi qua các điểm A(-2;0), B(2;0) và S(4;0) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.2^2} + b.2 + c\\0 = a{( - 2)^2} + b( - 2) + c\\4 = a{.0^2} + b.0 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\\c = 4\end{array} \right. \Rightarrow y =  - {x^2} + 4\).

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường tròn:

\( - {x^2} + 4 = \sqrt {4 - {x^2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^4} - 8{x^2} + 16 = 4 - {x^2}\\ - {x^2} + 4 \ge 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^4} - 7{x^2} + 12 = 0\\ - 2 \le x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm \sqrt 3 \\x =  \pm 2\end{array} \right.\)

Theo hình vẽ, phần kẻ sọc (đỏ) được giới hạn tại điểm giao có hoành độ nhỏ hơn 2.

Xét parabol \(y =  - {x^2} + 4\) tại \(x =  \pm \sqrt 3 \), ta có y = 1.

Do đó \(C\left( {\sqrt 3 ;1} \right)\), \(D\left( { - \sqrt 3 ;1} \right)\).

Diện tích phần kẻ sọc (đỏ) là \({S_1} = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left( { - {x^2} + 4 - \sqrt {4 - {x^2}} } \right)dx} \).

Kẻ \(CH \bot Ox\), H thuộc Ox.

Xét tam giác CEO vuông tại E, có:

\(\sin \widehat {EOC} = \frac{{CE}}{{OC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {EOC} = {30^o}\).

Do đó \(\widehat {COD} = 2\widehat {COS} = 2\left( {{{90}^o} - \widehat {EOC}} \right) = {120^o}\).

Diện tích phần quạt tròn là: \({S_2} = \frac{{120}}{{360}}.\pi {.2^2} = \frac{4}{3}\pi \).

Diện tích phần còn lại (trắng) là: \({S_3} = \frac{{\pi {{.2}^2}}}{2} - \frac{4}{3}\pi  = \frac{{2\pi }}{3}\).

Tổng chi phí là:

\(140000.{S_1} + 150000.{S_2} + 160000{S_3} \approx 1589427\) (đồng).

Đáp án : C

Mở rộng

Các lý thuyết chính được sử dụng:

1. Phương pháp tọa độ:

Sử dụng hệ trục tọa độ Oxy để biểu diễn hình dạng cần trang trí bằng các phương trình toán học. Mỗi điểm trên mặt phẳng được xác định bằng một cặp tọa độ (x;y). Các đường cong (parabol, đường tròn) được mô tả bằng phương trình đại số.

2. Phương trình hoành độ giao điểm:

Để tìm các điểm mà hai đường cong cắt nhau, chúng ta đặt phương trình của chúng bằng nhau và giải phương trình thu được để tìm tọa độ giao điểm.

3. Phương trình đường parabol:

Phương trình parabol có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Từ các điểm mà đồ thị qua, thay tọa độ vào phương trình trên để tìm được hệ số a, b, c.

4. Phương trình đường tròn:

Đường tròn tâm I(a;b), bán kính R có phương trình \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\).

5. Diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và g(x) liên tục trên [a;b], trục hoành, đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).