Tìm giá trị nguyên của x để đa thức 3x3 + 10x2 – 5 chia hết cho đa thức 3x + 1.
Thực hiện phép chia đa thức cho đa thức.
Để phép chia là phép chia hết thì phần dư phải chia hết cho đa thức chia, hay đa thức chia thuộc ước của phần dư.
Từ đó lập bảng giá trị để tìm x.
Thực hiện phép chia đa thức như sau:
Khi đó ta có: \(\frac{{3{x^3} + 10{x^2} - 5}}{{3x + 1}} = {x^2} + 3x - 1 + \frac{{ - 4}}{{3x + 1}}\).
Để đa thức \(3{x^3} + 10{x^2} - 5\) chia hết cho đa thức \(3x + 1\) thì \(\frac{{ - 4}}{{3x + 1}}\) phải là số nguyên.
Do đó \(\left( { - 4} \right) \vdots \left( {3x + 1} \right)\) hay \(\left( {3x + 1} \right) \in \) Ư(-4) = {– 4; – 1; 1; 4}.
Ta có bảng sau:
Vậy với \(n\; \in \;\left\{ {0;1} \right\}\) thì đa thức 3x3 + 10x2 – 5 chia hết cho đa thức 3x + 1.
Việc tìm giá trị nguyên của x để đa thức \(3x^3 + 10x^2 – 5\) chia hết cho đa thức \(3x + 1\) liên quan đến phép chia đa thức.
Theo lý thuyết, để một đa thức A chia hết cho một đa thức B, thì phần dư của phép chia A cho B phải bằng 0.
Trong trường hợp phép chia có dư, kết quả có thể biểu diễn dưới dạng thương cộng với phần dư chia cho đa thức chia. Cụ thể, \(\frac{A}{B} = Q + \frac{R}{B}\), trong đó Q là thương và R là phần dư.
Để đa thức \(3x^3 + 10x^2 – 5\) chia hết cho đa thức \(3x + 1\), thì phần dư phải "chia hết" cho đa thức chia theo một cách đặc biệt để phần còn lại của phép chia (tức là \(\frac{{ - 4}}{{3x + 1}}\)) phải là một số nguyên. Điều này xảy ra khi đa thức chia \(3x + 1\) là một ước của phần dư -4.
Phương pháp giải chung cho dạng bài này
+ Thực hiện phép chia đa thức P(x) cho đa thức D(x).
+ Xác định phần dư R của phép chia.
+ Để đa thức P(x) chia hết cho đa thức D(x), phần dư R phải "chia hết" cho D(x). Cụ thể, nếu R là một hằng số (như -4 trong bài toán này), thì đa thức chia D(x) (hoặc biểu thức chứa x trong D(x)) phải là ước của phần dư R.
+ Lập bảng giá trị hoặc giải phương trình để tìm các giá trị nguyên của x sao cho đa thức chia D(x) bằng các ước của phần dư R.
+ Kiểm tra lại các giá trị nguyên tìm được có thỏa mãn điều kiện đề bài (nếu có thêm).
Danh sách bình luận