Đề bài

Một nhóm bạn đi Picnic muốn cắm trại qua đêm. Biết trại cắm là một hình chóp tam giác đỉnh S cách đều các chân trại A, B, C một đoạn bằng 3 m. Biết đáy trại là một tam giác vuông tại A và AB = 2 m. Nhóm muốn cắm trại sao cho thể tích của trại là lớn nhất cho không gian thoải mái. Khi đó độ dài AC bằng bao nhiêu mét?

Phương pháp giải

Lập hàm số biểu diễn thể tích trại theo biến a (là độ dài một đoạn thẳng).

Tìm a để hàm số đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi H là trung điểm của BC.

Tam giác SBC cân tại S (do SB = SC = 3) có SH là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao. Do đó \(SH \bot BC\) (1)

Đặt BH = a.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(AH = BH = a\).

\(SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {{3^2} - {a^2}}  = \sqrt {9 - {a^2}} \).

\(S{A^2} = 9\); \(S{H^2} + A{H^2} = 9 - {a^2} + {a^2} = 9\).

Xét tam giác SAH có \(S{A^2} = S{H^2} + A{H^2}\) nên tam giác SAH vuông tại H (định lý Pythagore đảo).

Suy ra \(SH \bot AH\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(SH \bot (ABC)\), do đó SH là chiều cao của khối chóp có đáy là tam giác ABC.

\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {4{a^2} - 4}  = 2\sqrt {{a^2} - 1} \).

\(V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH = \frac{1}{6}AB.AC.SH = \frac{1}{6}.2.2\sqrt {{a^2} - 1} .\sqrt {9 - {a^2}} \)

\( = \frac{2}{3}\sqrt {{a^2} - 1} .\sqrt {9 - {a^2}} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\sqrt {10{a^2} - 9 - {a^4}} \).

\(V' = \frac{2}{3}.\frac{{ - 4{a^3} + 20a}}{{2\sqrt {10{a^2} - 9 - {a^4}} }} = \frac{{ - 4{a^3} + 20a}}{{3\sqrt {10{a^2} - 9 - {a^4}} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  \pm \sqrt 5 }\\{a = 0}\end{array}} \right.\)

Điều kiện: 1 < a < 3.

Chỉ có \(a = \sqrt 5 \) thỏa mãn điều kiện.

Vậy để thể tích của trại lớn nhất thì \(a = \sqrt 5 \), khi đó \(AC = 2\sqrt {{a^2} - 1}  = 4\) mét.

Mở rộng

Các lý thuyết chính được sử dụng bao gồm:

1. Tính chất tam giác vuông:

Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Định lí Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\).

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Một đường thẳng được coi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.

3. Công thức tính thể tích hình chóp:

\(V = \frac{1}{3}Bh\) với B là diện tích đáy, h là chiều cao.

4. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số V(a):

- Tính đạo hàm V'(a) của hàm thể tích V(a) theo biến a.

- Giải phương trình V'(a) = 0 để tìm các điểm cực trị.

- Lập bảng biến thiên và kết luận.