Đề bài

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?

• A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 8 = 0.\)          
• B. \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 9.\)
• C. \(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0\)
• D. \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 12y - 24z + 16 = 0\)

Phương pháp giải

Điều kiện cần và đủ để \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) là phương trình mặt cầu là \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Phương trình đáp án B có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) với \(a =  - 1,b = 2,c = 1\) và \(R = 3\) là phương trình mặt cầu.

Phương trình đáp án A có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a =  - 1,b =  - 1,c =  - 1,d =  - 8\)  có \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {11} \) là một phương trình mặt cầu.

Xét phương án C có

\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y + z + 8 = 0\).

Phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = 1,b =  - \dfrac{1}{2},c =  - \dfrac{1}{2},d = 8\) có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - 8 < 0.\)

Không phải là phương trình mặt cầu.

Đáp án : C

Chú ý

Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án A vì xác định sai số \(d = 8\) dẫn đến tính \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d < 0\) là sai.