Đề bài

So sánh P và \({P^2}\) với \(P = \frac{{\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  + 2}}\).

Phương pháp giải

Phân tích \(P = k + \frac{a}{{f\left( x \right)}}\) với k, a là hằng số.

Sử dụng điều kiện \(x \ge 0\) để chứng minh \(P > 1\) nên \(P - 1 > 0\).

Ta được bất phương trình \(P\left( {P - 1} \right) > 0\), biến đổi để so sánh \({P^2}\) và \(P\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  + 2}}\left( {x \ge 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt x  + 2 + 4}}{{\sqrt x  + 2}}\\ = 1 + \frac{4}{{\sqrt x  + 2}}\end{array}\)

Với \(x \ge 0\) thì \(\sqrt x  + 2 \ge 2 > 0\), suy ra \(\frac{4}{{\sqrt x  + 2}} > 0\)

Do đó \(1 + \frac{4}{{\sqrt x  + 2}} > 1\), suy ra \(P > 1\)

Khi đó \(P - 1 > 0\)

\(\begin{array}{l}P\left( {P - 1} \right) > 0\\{P^2} - P > 0\\{P^2} > P\end{array}\)

Vậy \(P < {P^2}\)

Mở rộng

Lý thuyết liên quan:

Để so sánh một số \(a\) với bình phương của nó \({a^2}\), ta thường xét hiệu \({a^2} - a\) hoặc so sánh \(a\) với số 1.

• Nếu \(a > 1\), thì \({a^2} > a\).
• Nếu \(a = 1\), thì \({a^2} = a\).
• Nếu \(0 < a < 1\), thì \({a^2} < a\).
• Nếu \(a = 0\), thì \({a^2} = a\).
• Nếu \(a < 0\), thì \({a^2} > a\).