Đề bài

Tìm m để phương trình \({x^2} + mx - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) cùng nhỏ hơn 1.

Phương pháp giải

Tính Delta theo m, để phương trình có hai nghiệm có hai nghiệm phân biệt thì Delta > 0.

Sử dụng định lí Viéte để biểu diễn tổng và tích của hai nghiệm theo m.

Vì hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) cùng nhỏ hơn 1 nên ta có bất phương trình.

Giải bất phương trình, thay \({x_1} + {x_2},{x_1}{x_2}\) theo Viéte để tìm các giá trị m thoả mãn.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Phương trình \({x^2} + mx - 2 = 0\) có \(\Delta  = {m^2} - 4.1.\left( { - 2} \right) = {m^2} + 8\).

Vì \({m^2} \ge 0\) với mọi giá trị m nên \({m^2} + 8 \ge 8 > 0\) với mọi giá trị của m nên \(\Delta  > 0\) suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) với mọi m.

Áp dụng định lí Viéte, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - m\\{x_1}{x_2} =  - 2\end{array} \right.\).

Vì \({x_1},{x_2} < 1\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - 1 < 0\\{x_2} - 1 < 0\end{array} \right.\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0\left( 1 \right)\\\left( {{x_1} - 1} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right) < 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Giải bất phương trình (1):

\(\begin{array}{l}\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0\\{x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2} + 1 > 0\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0\\ - 2 - \left( { - m} \right) + 1 > 0\\m - 1 > 0\\m > 1\left( * \right)\end{array}\)

Giải bất phương trình (2):

\(\begin{array}{l}\left( {{x_1} - 1} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right) < 0\\{x_1} - 1 + {x_2} - 1 < 0\\\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2 < 0\\ - m < 2\\m >  - 2\left( {**} \right)\end{array}\)

Từ (*) và (**) suy ra m > 1.

Vậy m > 1 thì phương trình \({x^2} + mx - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) cùng nhỏ hơn 1.

Mở rộng

Lý thuyết liên quan:

• Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: Một phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \ne 0\)) có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi biệt thức (Delta, Δ) của nó lớn hơn 0 (\(\Delta > 0\)). 
• Định lí Viète và ứng dụng: Đối với phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \ne 0\)) có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\), Định lí Viète cho biết mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình. Cụ thể, tổng hai nghiệm là \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) và tích hai nghiệm là \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\).
• Hai số cùng nhỏ hơn 0 thì tích của chúng lớn hơn 0, tổng của chúng nhỏ hơn 0.