Đề bài

Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật, biết hình chữ nhật có chu vi bằng 340 m và diện tích bằng 7200\({m^2}\).

Phương pháp giải

Áp dụng cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng theo định lí Viète.

Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\).

Giải phương trình để tìm chiều dài và chiều rộng (lưu ý chiều dài > chiều rộng).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì chu vi hình chữ nhật là 340 m nên tổng của chiều dài và chiểu rộng là \(340:2 = 170\left( m \right)\).

Vì diện tích hình chữ nhật là 7200 \({m^2}\) nên tích của chiều dài và chiều rộng là 7200 \(\left( {{m^2}} \right)\)

Vì tổng của chiều dài và chiều rộng là 170 và tích của chúng bằng 7200 nên chiều dài và chiều rộng là hai nghiệm của phương trình \({X^2} - 170X + 7200 = 0\)

Giải phương trình ta được \({X_1} = 80;{X_2} = 90\)

Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng nên chiều dài bằng 90m, chiều rộng bằng 80m.

Vậy hình chữ nhật có chiều dài bằng 90 m và chiều rộng bằng 80 m.

Mở rộng

Lý thuyết liên quan: Bài toán này được giải quyết bằng cách áp dụng định lí Viète. Định lí Viète nêu rằng nếu hai số có tổng là S và tích là P, thì chúng là nghiệm của phương trình bậc hai \({X^2} - SX + P = 0\).

Lý thuyết ứng dụng vào câu hỏi:

• Nửa chu vi của hình chữ nhật chính là tổng của chiều dài và chiều rộng. Ta có tổng S của hai số cần tìm (chiều dài và chiều rộng).
• Diện tích của hình chữ nhật bằng 7200 \({m^2}\). Ta có tích P của hai số cần tìm.
• Theo định lí Viète, ta lập được phương trình \({X^2} - 170X + 7200 = 0\).
• Giải phương trình này, ta tìm được hai nghiệm là \({X_1} = 80\) và \({X_2} = 90\). Dựa vào điều kiện chiều dài lớn hơn chiều rộng, ta xác định chiều dài bằng 90m và chiều rộng bằng 80m.

Phương pháp giải chung cho dạng bài này: Đối với bài toán tìm kích thước (chiều dài và chiều rộng) của hình chữ nhật khi biết chu vi và diện tích:

• Bước 1: Tính nửa chu vi của hình chữ nhật. Nửa chu vi này chính là tổng (S) của chiều dài và chiều rộng.
• Bước 2: Diện tích của hình chữ nhật chính là tích (P) của chiều dài và chiều rộng.
• Bước 3: Áp dụng định lí Viète, chiều dài và chiều rộng là nghiệm của phương trình bậc hai có dạng \({X^2} - SX + P = 0\), trong đó S là tổng (nửa chu vi) và P là tích (diện tích) đã tính ở trên.
• Bước 4: Giải phương trình bậc hai để tìm hai nghiệm. Hai nghiệm này chính là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.
• Bước 5: So sánh hai nghiệm và xác định chiều dài (thường là giá trị lớn hơn) và chiều rộng (thường là giá trị nhỏ hơn hoặc bằng).