Đề bài

Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần để trồng hoa có dạng một hình parabol có đỉnh trùng với tâm hình tròn và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa đường tròn, hai đầu mút của parabol nằm trên đường tròn (phần tô đậm) và cách nhau một khoảng bằng 4 mét. Phần còn lại của công viên (phần không tô đậm) dùng để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ. Chi phí để trồng hoa hồng và hoa cúc lần lượt là 150 000 đồng/\({m^2}\) và 100 000 đồng/\({m^2}\). Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)?

• A. 3 926 990 (đồng)
• B. 4 115 408 (đồng)
• C. 1 948 000 (đồng)
• D. 3 738 574 (đồng)

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ Oxy vào vị trí phù hợp.

Tìm phương trình đường tròn và parabol.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gắn trục tọa độ như hình vẽ.

Gọi phương trình parabol là \(y = a{x^2} + bx + c\) (a > 0).

Vì parabol đi qua các điểm O(0; 0), (2; 4) và B(-2; 4) nên ta có hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 = a{{.0}^2} + b.0 + c}\\{4 = a{{.2}^2} + b.2 + c}\\{4 = a.{{( - 2)}^2} + b.( - 2) + c}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 0}\\{c = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow y = {x^2}\).

Đường tròn tâm O(0; 0), đi qua điểm (2; 4) có bán kính là:

\(R = \sqrt {{{(2 - 0)}^2} + {{(4 - 0)}^2}}  = 2\sqrt 5 \).

Phương trình đường tròn là:

\({(x - 0)^2} + {(y - 0)^2} = {(2\sqrt 5 )^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 20\).

Phương trình nửa đường tròn nằm phía trên trục Ox là: \(y = \sqrt {20 - {x^2}} \).

Diện tích trồng hoa (phần tô màu) là:

\({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {20 - {x^2}}  - {x^2}} \right)dx} \) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích nửa hình tròn là \(S = \frac{1}{2}\pi {R^2} = \frac{1}{2}\pi .20 = 10\pi \) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích trồng cỏ Nhật Bản (phần không tô màu) là:

\({S_2} = S - {S_1} = 10\pi  - \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {20 - {x^2}}  - {x^2}} \right)dx} \) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Chi phí trồng hoa khuôn viên đó là:

\(150000.{S_1} + 100000.{S_2} \approx 3738574\) đồng.

Đáp án : D

Mở rộng

Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng kiến thức về hình học giải tích để mô tả các hình dạng trong khuôn viên và phép tính tích phân để tính diện tích.

1. Xây dựng mô hình toán học bằng hệ trục tọa độ:

Đầu tiên, ta cần chọn một hệ trục tọa độ để biểu diễn khuôn viên và các phần được thiết kế bên trong. Việc lựa chọn hệ trục tọa độ phù hợp sẽ giúp chuyển đổi các hình dạng hình học thành các phương trình đại số. Từ hệ trục tọa độ đã chọn, các hình dạng của khuôn viên và phần trồng hoa được biểu diễn bằng các phương trình đường cong.

2. Ứng dụng tích phân:

Đây là một công cụ mạnh mẽ trong giải tích, cho phép tính toán nhiều đại lượng, bao gồm diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.

Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai hàm y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] là \(\int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).

3. Công thức diện tích hình tròn:

\(S = \pi {R^2}\), với R là bán kính. Diện tích nửa hình tròn sẽ là \(\frac{1}{2}\pi {R^2}\).