Đề bài

Cho phương trình bậc hai \( - {x^2} + 7x + 5 = 0\).

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: \(A = {x_1}\left( {3{x_1} - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {3{x_2} - {x_1}} \right)\).

 

Phương pháp giải

a) Sử dụng \(ac < 0\) để chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi A để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.

Định lí Viète: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\).

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Phương trình \( - {x^2} + 7x + 5 = 0\) có \(ac = \left( { - 1} \right).5 =  - 5 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) \(A = {x_1}\left( {3{x_1} - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {3{x_2} - {x_1}} \right)\)

Áp dụng Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - 7}}{{ - 1}} = 7;{x_1}{x_2} = \frac{5}{{ - 1}} =  - 5\)

Ta có:
\(\begin{array}{l}A = {x_1}\left( {3{x_1} - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {3{x_2} - {x_1}} \right)\\ = 3x_1^2 - {x_1}{x_2} + 3x_2^2 - {x_1}{x_2}\\ = 3x_1^2 + 3x_2^2 - 2{x_1}{x_2}\\ = 3x_1^2 + 6{x_1}{x_2} + 3x_2^2 - 6{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}\\ = 3\left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 8{x_1}{x_2}\\ = 3{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 8{x_1}{x_2}\\ = {3.7^2} - 8.\left( { - 5} \right)\\ = 187\end{array}\)

Vậy \(A = 187\).