Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8 000 quả bóng tennis. Biết công ty này có 30 máy và mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng mỗi giờ. Số máy công ty nên sử dụng để sản xuất đơn hàng trên là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?
Gọi số máy cần sử dụng là x (x > 0).
Lập hàm C(x) biểu diễn chi phí hoạt động.
Tìm x để C(x) nhỏ nhất.
Gọi số máy cần sử dụng là x (x > 0).
Với x máy, có thể sản xuất 30x quả bóng trong 1 giờ.
Thời gian để hoàn thành đơn hàng 8000 quả bóng là \(\frac{{8000}}{{30x}} = \frac{{800}}{{3x}}\) (giờ).
Chi phí thiết lập cho x máy là 200x (nghìn đồng).
Cần giám sát trong \(\frac{{800}}{{3x}}\) giờ nên số tiền cần trả cho người giám sát là \(192.\frac{{800}}{{3x}} = \frac{{51200}}{x}\) (nghìn đồng).
Tổng chi phí là \(C(x) = 200x + \frac{{51200}}{x}\).
Ta có \(C'(x) = 200 - \frac{{51200}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 256 \Leftrightarrow x = \pm 16\).
Vì x > 0 nên x = 16 thỏa mãn.
Ta có bảng biến thiên:
Vậy số máy công ty nên sử dụng để sản xuất đơn hàng trên là 16 để chi phí hoạt động thấp nhất.
Lý thuyết được áp dụng:
1. Mô hình hóa chi phí dưới dạng hàm số:
- Xác định tất cả các thành phần chi phí liên quan đến quá trình sản xuất.
- Biểu diễn tổng chi phí đó dưới dạng một hàm số phụ thuộc vào biến số cần tối ưu hóa.
Trong bài toán này, biến số đó là số lượng máy móc được sử dụng (gọi là x).
2. Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất:
Để tìm giá trị của x làm cho hàm chi phí C(x) đạt giá trị nhỏ nhất, ta sử dụng công cụ đạo hàm.
- Tính đạo hàm của hàm C(x) theo biến x, ký hiệu là C'(x). Đạo hàm biểu thị tốc độ thay đổi của chi phí khi số lượng máy thay đổi.
- Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình C'(x) = 0. Tại các điểm này, tốc độ thay đổi của chi phí là bằng không, cho thấy hàm chi phí có thể đạt cực tiểu hoặc cực đại. Từ đó, kết luận giá trị lớn nhất.
Danh sách bình luận