Đề bài

Có một hộp đựng 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi, trong đó có 2 viên bi xanh và có nhiều nhất 2 viên bi vàng và phải có đủ 3 màu?

• A. 1500
• B. 1600
• C. 372
• D. 1700

Phương pháp giải

Chia trường hợp, áp dụng quy tắc cộng kết hợp quy tắc nhân, công thức tính số tổ hợp.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Để lấy ra 6 viên bi theo yêu cầu đề bài:

TH1: 2 xanh (cố định), 1 vàng, 3 đỏ.

- Số cách chọn 2 bi xanh: \(C_5^2\).

- Số cách chọn 1 bi vàng: \(C_4^1\).

- Số cách chọn 3 bi đỏ: \(C_6^3\).

Vậy TH1 có \(C_5^2.C_4^1.C_6^3 = 800\) cách.

TH2: 2 xanh (cố định), 2 vàng, 2 đỏ.

- Số cách chọn 2 bi xanh: \(C_5^2\).

- Số cách chọn 2 bi vàng: \(C_4^2\).

- Số cách chọn 2 bi đỏ: \(C_6^2\).

Vậy TH2 có \(C_5^2.C_4^2.C_6^2 = 900\) cách.

Vậy tổng số cách chọn theo yêu cầu đề bài là 800 + 900 = 1700.

Đáp án : D

Mở rộng

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng một số khái niệm và quy tắc cơ bản trong Toán học Tổ hợp:

1. Tổ hợp: Khái niệm này được sử dụng khi chúng ta cần chọn ra một nhóm các phần tử từ một tập hợp lớn hơn mà không quan tâm đến thứ tự sắp xếp của các phần tử được chọn. Công thức tính số cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử khác nhau là $C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Trong bài toán này, việc chọn các viên bi cùng màu hay khác màu đều là chọn nhóm, không quan trọng thứ tự, nên chúng ta dùng tổ hợp.

2. Phân tích trường hợp: Bài toán có nhiều điều kiện đồng thời cần thỏa mãn (lấy ra 6 bi, 2 bi xanh, nhiều nhất 2 bi vàng, đủ 3 màu). Khi các điều kiện phức tạp, đặc biệt là các điều kiện có phạm vi ("nhiều nhất 2 bi vàng"), việc chia bài toán thành các trường hợp nhỏ hơn, đơn giản hơn để giải quyết là cần thiết.

3. Quy tắc nhân: Nếu một công việc được hoàn thành qua nhiều công đoạn liên tiếp, và số cách thực hiện mỗi công đoạn không phụ thuộc vào cách thực hiện các công đoạn trước đó, thì tổng số cách hoàn thành công việc là tích số cách của mỗi công đoạn. Trong bài toán này, việc chọn bi xanh, bi đỏ, bi vàng là các công đoạn độc lập, nên ta dùng quy tắc nhân.

4. Quy tắc cộng: Nếu một công việc có thể hoàn thành bằng nhiều cách khác nhau (các trường hợp) mà các cách này là độc lập (không có trường hợp nào trùng lặp), thì tổng số cách hoàn thành công việc là tổng số cách của các trường hợp đó. Khi đã phân tích bài toán thành các trường hợp riêng biệt, ta sẽ cộng số cách của từng trường hợp lại để được kết quả cuối cùng.