Đề bài

Biết rằng phương trình bậc hai \(2{x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + m = 0\) có một nghiệm \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.

Phương pháp giải

Thay nghiệm vào phương trình, tính m.

Tổng bình phương hai nghiệm là \({x_1}^2 + {x_2}^2\).

Biến đổi biểu thức và áp dụng định lí Viète: \(S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\); \(P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Thay \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) vào phương trình \(2{x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + m = 0\), được:

\(2{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\frac{{\sqrt 3 }}{2} + m = 0\)

\(m = \sqrt 3 \).

Phương trình bậc hai đã cho là \(2{x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + \sqrt 3  = 0\).

Gọi \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình.

Áp dụng hệ thức Viète: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = \frac{{ - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{2} = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

Ta có \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}} \right)^2} - 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{7}{4}\).

Vậy tổng bình phương hai nghiệm của phương trình là \(\frac{7}{4}\).