Đề bài

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 3z + 4 = 0\) và đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}\). Đường thẳng \(\Delta \) nằm trong \(\left( P \right)\) đồng thời cắt và vuông góc với \(d\) có phương trình:

• A. \(\Delta :\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}\)
• B. \(\Delta :\dfrac{{x + 3}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}\)
• C. \(\Delta :\dfrac{{x + 3}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}\)         
• D. \(\Delta :\dfrac{{x + 3}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\)

Phương pháp giải

- Tìm tọa độ điểm đồng quy của \(d,\Delta ,\left( P \right)\).

- \(\Delta \) nằm trong \(\left( P \right)\) và vuông góc với \(d\) nên \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;2; - 3} \right)\); \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Gọi \(A = d \cap \left( P \right)\), tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}\\x + 2y - 3z + 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;1;1} \right)\).

Do \(\Delta \) nằm trong \(\left( P \right)\) và vuông góc với \(d\) nên có VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1; - 2; - 1} \right)\).

Khi đó đường thẳng \(\Delta \) được xác định là đi qua \(A\left( { - 3;1;1} \right)\) và có VTCP  \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1; - 2; - 1} \right)\) nên có phương trình \(\Delta :\dfrac{{x + 3}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}\).

Đáp án : C