Một cốc rượu có hình dạng tròn xoay và kích thước như hình vẽ, thiết diện dọc của cốc (bố dọc cốc thành 2 phần bằng nhau) là một đường parabol. Tính thể tích \(c{m^3}\) tối đa mà cốc có thể chứa được (làm tròn đến hàng đơn vị).
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay ứng dụng tích phân.
Gắn hệ trục tọa độ như hình.
Giả sử parabol có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) (a > 0).
Vì parabol đi qua các điểm có tọa độ (-4;10), (4;10), (0;10) nên ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}10 = a{( - 4)^2} + b( - 4) + c\\10 = a{.4^2} + b.4 + c\\0 = a{.0^2} + b.0 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{5}{8}\\b = 0\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow y = \frac{5}{8}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{8}{5}y\).
Thể tích của cốc là thể tích khối tròn xoay khi quay đồ thị \({x^2} = \frac{8}{5}y\) quanh trục Oy, giới hạn bỏi hai đường thẳng y = 0 và y = 10.
Ta có thể tích cốc là \(V = \pi \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{8}{5}y} \right)dy} = 80\pi \approx 251\) \(\left( {c{m^3}} \right)\).
Các lý thuyết và công thức được áp dụng:
1. Phương pháp tọa độ:
Việc sử dụng hệ trục tọa độ là một nguyên tắc cơ bản của hình học giải tích để chuyển bài toán hình học sang bài toán đại số. Hệ trục được chọn sao cho phương trình parabol có dạng đơn giản nhất.
2. Phương trình đường parabol:
Đường parabol là một đường conic có phương trình tổng quát. Trong hệ trục tọa độ, một parabol có trục đối xứng là trục y và đỉnh tại gốc tọa độ có dạng \(y = a{x^2}\) (hoặc \({x^2} = \frac{1}{a}y\)). Nếu đỉnh không ở gốc, phương trình sẽ phức tạp hơn.
3. Công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân:
Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi việc quay đường cong x = f(y) quanh trục Oy, giới hạn bởi các đường thẳng y = a, y = b được tính bằng công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)dy} \). Công thức này dựa trên ý tưởng chia khối tròn xoay thành các "lát" hình đĩa mỏng vuông góc với trục quay.
Danh sách bình luận