Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là BC = 10 km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm ngắn nhất tính từ đảo C vào bờ là AB = 40 km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy từ khách sạn ra đảo (như hình vẽ dưới đây). Biết kinh phí đi đường thủy là 5 USD/km, kinh phí đi đường bộ là 3 USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một đoạn AD bao nhiêu để kinh phí đi từ A đến C nhỏ nhất? (AB vuông góc BC - hình dưới đây).
-
A.
\(\frac{{15}}{2}\) km
-
B.
\(\frac{{65}}{2}\) km
-
C.
\(10\) km
-
D.
\(40\) km
Lập hàm số tính kinh phí đi từ A đến C, với ẩn x = BD.
Tìm x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện của x.
Gọi độ dài đoạn BD là x (km), \(x \in \left[ {0;40} \right]\).
Khi đó, \(AD = 40 - {x^2}\), \(DC = \sqrt {B{C^2} + B{D^2}} = \sqrt {{{10}^2} + {x^2}} = \sqrt {100 + {x^2}} \) (km).
Kinh phí đi từ A đến C được tính bằng tổng kinh phí đi đường bộ AD và kinh phí đi đường thủy DC. Kinh phí đường bộ là 3 USD/km và đường thủy là 5 USD/km.
Vậy, kinh phí đi từ A đến C: \(y = f\left( x \right) = 3AD + 5DC = 3\left( {40 - x} \right) + 5\sqrt {100 + {x^2}} \).
Để tìm kinh phí nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \(\left[ {0;40} \right]\) bằng cách sử dụng đạo hàm.
\(f'\left( x \right) = - 3 + 5\frac{1}{{2\sqrt {100 + {x^2}} }}.2x = \frac{{ - 3\sqrt {100 + {x^2}} + 5x}}{{\sqrt {100 + {x^2}} }}\).
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 3 + \frac{{5x}}{{\sqrt {100 + {x^2}} }} = \frac{{ - 3\sqrt {100 + {x^2}} + 5x}}{{\sqrt {100 + {x^2}} }} = 0\)
\( \Leftrightarrow - 3\sqrt {100 + {x^2}} + 5x = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {100 + {x^2}} = 5x\)
\( \Leftrightarrow 9\left( {100 + {x^2}} \right) = 25{x^2} \Leftrightarrow 16{x^2} = 900 \Leftrightarrow x = \sqrt {\frac{{225}}{4}} = \frac{{15}}{2}\) (thỏa mãn).
Ta có: \(f\left( 0 \right) = 170\), \(f\left( {40} \right) = 50\sqrt {17} \), \(f\left( {\frac{{15}}{2}} \right) = 160\).
So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất là 160.
Vậy, kinh phí đi từ A đến C nhỏ nhất bằng 160 USD khi \(BD = x = \frac{{15}}{2}\) (km).
Người đó phải bộ một đoạn \(AD = 40 - x = 40 - \frac{{15}}{2} = \frac{{80 - 15}}{2} = \frac{{65}}{2}\) (km).
Đáp án : B
Danh sách bình luận