Đề bài

Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh \({A_1}\), \({A_2}\), \({B_1}\), \({B_2}\) như hình vẽ. Biết chi phí sơn tô đậm là 200 000 đồng/\({m^2}\) và phần còn lại là 100 000/\({m^2}\). Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết \({A_1}{A_2} = 8\) m, \({B_1}{B_2} = 6\) và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ = 3 m?

• A. 7 322 000 đồng
• B. 7 213 000 đồng
• C. 5 526 000 đồng
• D. 5 782 000 đồng

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ vào vị trí phù hợp.

Lập phương trình elip và áp dụng công thức tính diện tích bằng tích phân.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình.

Trục lớn elip là \({A_1}{A_2} = 8\) suy ra a = 4 (m).

Trục nhỏ elip là \({B_1}{B_2} = 6\) suy ra b = 3 (m).

Diện tích elip là \({S_{elip}} = \pi ab = \pi .4.3 = 12\pi \) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Phương trình elip là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow y =  \pm 3\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} \).

Ta chỉ xét đường elip nằm phía trên trục hoành: \(y = 3\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} \).

Theo đề bài, MQ = 3 nên tung độ của M, N là \(\frac{3}{2}\).

Khi đó \(\frac{3}{2} = 3\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}}  \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {12} \).

Vậy \(M\left( { - \sqrt {12} ;\frac{3}{2}} \right)\) và \(N\left( {\sqrt {12} ;\frac{3}{2}} \right)\).

Diện tích phần tô đậm là: \({S_{dam}} = 2.{S_{gach}} = 2\int\limits_{ - \sqrt {12} }^{\sqrt {12} } {3\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} } dx\).

Diện tích phần trắng là là \({S_{trang}} = {S_{elip}} - {S_{dam}} = 12\pi  - 2\int\limits_{ - \sqrt {12} }^{\sqrt {12} } {3\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} } dx\).

Số tiền phải trả là:

\(200000.2\int\limits_{ - \sqrt {12} }^{\sqrt {12} } {3\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} } dx + 100000.\left( {12\pi  - 2\int\limits_{ - \sqrt {12} }^{\sqrt {12} } {3\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} } dx} \right) \approx 7322416\) (đồng).

Số tiền trên gần nhất với 7 322 000 đồng.

Đáp án : A