Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a.
-
A.
\(\frac{{3a}}{2}\)
-
B.
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
-
C.
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
-
D.
\(a\sqrt 2 \)
Gọi ABCD là tứ diện đều cạnh a.
Các cặp cạnh đối diện của tứ diện đều có vai trò như nhau. Do đó ta chỉ cần tính khoảng cách giữa hai cạnh AB và CD.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Vì các mặt bên là các tam giác đều bằng nhau nên các đường trung tuyến của tam giác cũng bằng nhau.
Do đó, MN = BN hay \(\Delta ABN\) cân tại N. Suy ra đường trung tuyến MN của \(\Delta ABN\) cũng là đường cao, hay \(MN \bot AB\).
Tương tự, MC = MD hay \(\Delta MCD\) cân tại M. Suy ra đường trung tuyến MN của \(\Delta MCD\) cũng là đường cao, hay \(MN \bot CD\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot AB\\MN \bot CD\end{array} \right.\) nên MN là đường vuông góc chung của AB và CD.
Suy ra \(d\left( {AB,CD} \right) = MN\).
Xét \(\Delta BMN\) vuông tại M:
\(M{N^2} = \sqrt {B{N^2} - B{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \(d\left( {AB,CD} \right) = MN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Đáp án : B
Danh sách bình luận