Tứ diện đều ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Mệnh đề nào sau đây sai?
-
A.
\(AB \bot CD\)
-
B.
\(MN \bot AB\)
-
C.
\(MN \bot BD\)
-
D.
\(MN \bot CD\)
Sử dụng phương pháp loại trừ.
Gọi O là trọng tâm \(\Delta BCD\). Vì ABCD là tứ diện đều nên AO là đường cao của tứ diện.
Có \(AO \bot (BCD)\) nên \(AO \bot CD\).
Xét \(\Delta BCD\) có BN vừa là trung tuyến, vừa là đường cao \( \Rightarrow BN \bot CD\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AO \bot CD\\BN \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (ABN) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AB\\CD \bot MN\end{array} \right.\)
Do đó đáp án A, D đúng.
Vì ABCD là tứ diện đều nên các mặt là các tam giác đều bằng nhau, do đó đường trung tuyến ứng với mỗi tam giác bằng nhau.
Suy ra BN = AN, do đó \(\Delta ABN\) cân tại N có đường trung tuyến MN đồng thời là đường cao, hay \(MN \bot AB\).
Do đó đáp án B đúng.
Vậy C sai.
Đáp án : C
Danh sách bình luận