Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm \((1 \le x \le 400)\) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là \(F(x) = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000\) (đồng). Trong đó chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là \(G(x) = \frac{{100000x}}{{\frac{3}{2}x + 1}}\) (đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là \(H(x) = 2{x^3} + 100000x - 50000\) (đồng) nhưng do doanh nghiệp đó mua nguyên vật liệu với số lượng lớn nên được giảm 1% cho 200 sản phẩm đầu tiên doanh nghiệp sản xuất và giảm 2% cho sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?
Chia 2 trường hợp và lập hàm doanh thu. Tìm x để hàm đạt giá trị lớn nhất.
Doanh thu là F(x), chi phí vận hành cho x sản phẩm là x.G(x).
TH1: \(x \in [1;200]\).
Chi phí nguyên vật liệu là \(0,99.H(x) = 0,99.\left( {2{x^3} + 100000x - 50000} \right)\).
Lợi nhuận là: \({L_1}(x) = F(x) - x.G(x) - 0,99.H(x)\)
\( = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000 - x.\frac{{100000x}}{{\frac{3}{2}x + 1}} - 0,99.\left( {2{x^3} + 100000x - 50000} \right)\)
\( = - 0,98{x^3} - 1999{x^2} + 902000x + 299500 - x.\frac{{100000x}}{{\frac{3}{2}x + 1}}\).
\({L_1}'(x) = 0 \Leftrightarrow x \approx 184\).
Khi đó \({L_1}\max = {L_1}(184) \approx 80262062\).
TH2: \(x \in [201;400]\).
Chi phí nguyên vật liệu là \(0,99.H(200) + 0,98.H(x - 200) = 35590500 + 0,98.H(x - 200)\).
Lợi nhuận là: \({L_2}(x) = F(x) - x.G(x) - 35590500 - 0,98.H(x - 200)\)
\(\begin{array}{l} = {x^3} - 1999{x^2} + 1001000x + 250000 - x.\frac{{100000x}}{{\frac{3}{2}x + 1}} - 35590500\\ - 0,98\left[ {2{{(x - 200)}^3} + 100000(x - 200) - 50000} \right].\end{array}\)
\( = - 0,98{x^3} - 1999{x^2} + 902000x + 299500 - x.\frac{{100000x}}{{\frac{3}{2}x + 1}}\).
\({L_2}'(x) = 0 \Leftrightarrow x \approx 253\).
Khi đó \({L_2}\max = {L_2}(253) \approx 83893668\).
Vì \({L_2}\max > {L_1}\max \) nên để lợi nhuận lớn nhất thì cần sản xuất 253 sản phẩm.
Các lý thuyết được ứng dụng để giải bài toán:
1. Định nghĩa hàm lợi nhuận:
Lợi nhuận (L) bằng Doanh thu (F) trừ đi Tổng chi phí (C).
Tổng chi phí bao gồm chi phí vận hành và chi phí nguyên vật liệu. Trong bài toán này, tất cả các thành phần này được biểu diễn dưới dạng các hàm phụ thuộc vào số lượng sản phẩm sản xuất x.
2. Tìm GTLN của hàm số trên một đoạn:
Mục tiêu là tìm giá trị của x để hàm lợi nhuận L(x) đạt giá trị lớn nhất. Đối với các hàm số liên tục trên đoạn [a;b], giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) chỉ có thể xảy ra tại:
+ Các điểm cực trị bên trong khoảng (a;b). Các điểm này là nơi đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không tồn tại.
+ Các điểm biên của đoạn [a;b] (tức là tại x = a và x = b.
3. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị:
Để tìm các điểm cực trị, chúng ta sử dụng công cụ đạo hàm:
- Tính đạo hàm của hàm lợi nhuận, ký hiệu là L'(x).
- Giải phương trình L'(x) = 0 để tìm các điểm có khả năng là cực trị.
Danh sách bình luận