Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh 90 (cm). Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng x (cm) (cắt phần tô đậm của tấm nhôm) rồi gập tấm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp. Tìm x để thể tích của khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất.
Lập hàm biểu diễn thể tích lăng trụ theo x.
Tìm x để hàm số đạt giá trị lớn nhất với điều kiện của x.
Đặt tên các điểm như hình.
Có thể chia lục giác đều thành 6 tam giác đều cạnh 90 cm, và \(\widehat {AMH} = {60^o}\).
Cạnh đáy của lăng trụ lục giác đều là AB = HK = 90 – 2x.
Ta có điều kiện của x: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\90 - 2x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 45\).
Xét \(\Delta AMH\) vuông tại H:
\(\tan \widehat {AMH} = \frac{{AH}}{{MH}} \Leftrightarrow AH = MH.\tan \widehat {AMH} = x.\tan {60^o} = x\sqrt 3 \).
Do đó chiều cao lăng trụ lục giác đều là \(AH = x\sqrt 3 \).
Diện tích đáy lăng trụ lục giác đều là:
\({S_{ABCDEF}} = 6.{S_{ABO}} = 6.\frac{{\sqrt 3 }}{4}{(90 - 2x)^2}\).
Thể tích khối lăng trụ lục giác đều là:
\(V(x) = HA.{S_{ABCDEF}} = x\sqrt 3 .6.\frac{{\sqrt 3 }}{4}{(90 - 2x)^2} = \frac{9}{2}x{(90 - 2x)^2}\)
\( = 18{x^3} - 1620{x^2} + 36450x\).
Xét hàm số \(V(x) = 18{x^3} - 1620{x^2} + 36450x\) với \(x \in (0;45)\):
Ta có \(V'(x) = 54{x^2} - 3240x + 36450 = 0\)
\( \Leftrightarrow \) x = 15 (thỏa mãn) hoặc x = 45 (loại).
Ta có bảng biến thiên:
Vậy thể tích của lăng trụ lớn nhất là 243 000 \(c{m^3}\) khi x = 15 cm.
Thể tích khối lăng trụ
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B, chiều cao h là: V = B.h.
Hình lục giác đều
Hình lục giác đều là hình lục giác sở hữu 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bằng nhau, trong đó mỗi góc của hình lục giác đều là 120 độ. Bên cạnh đó, 6 đỉnh của hình lục giác đều sẽ nằm trên 1 đường tròn.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).
Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.
Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].
Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].
Danh sách bình luận