Đề bài

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm đó \((0 < x \le 2000)\), tổng số tiền doanh nghiệp thu được (đơn vị: chục nghìn đồng) là \(f(x) = 2000x - {x^2}\) và tổng chi phí (đơn vị: chục nghìn đồng) doanh nghiệp chi ra là \(g(x) = {x^2} + 1440x + 50\). Giả sử mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là t (chục nghìn đồng) (0 < t < 300). Tìm mức thuế phụ thu t (trên một đơn vị sản phẩm) sao cho nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó.

Phương pháp giải

Lập hàm h(x) biểu diễn doanh thu theo x và t. Tìm x sao cho h(x) lớn nhất, từ đó tìm t.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Khi sản xuất và bán hết x sản phẩm \((0 < x \le 2000)\), lợi nhuận thu được là:

\(h(x) = (2000x - {x^2}) - ({x^2} + 1440x + 50) - tx\)

\( =  - 2{x^2} + (560 - t)x - 50\).

Ta có \(h'(x) = 0 \Leftrightarrow  - 4x + (560 - t) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{560 - t}}{4}\).

Bảng biến thiên của h(x):

Từ bảng biến thiên, ta thấy h(x) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \frac{{560 - t}}{4}\).

Khi đó, tổng số tiền thuế là \(k(t) = \frac{{560 - t}}{4}.t =  - \frac{1}{4}{(t - 280)^2} + 19600 \le 19600\), \(\forall t \in (0;300)\).

Dấu “=” xảy ra khi t = 280. Khi đó \(x = \frac{{560 - 280}}{4} = 70\).

Vậy mức thuế phụ thu (trên một đơn vị sản phẩm) sao cho nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó là t = 280.